Darstellungstheorie und Homologische Algebra 1

Wintersemester 2016/17

Voraussetzungen:
Lineare Algebra 1 und 2, Grundbegriffe der Algebra

Inhalt:
Im Teil 1 der Vorlesung (Wintersemester) soll zunächst eine Einführung in die Darstellungstheorie von Gruppen und Algebren gegeben werden. Bei der Behandlung von Grundproblemen der Darstellungstheorie werden dann auch die Sprache der Kategorientheorie eingeführt sowie grundlegende Methoden der homologischen Algebra. (Kategorientheorie und homologische Algebra sind auch in anderen Gebieten wie algebraische Topologie und algebraische Geometrie wichtig.) Ziel in diesem Semester ist, zum Beispiel Ext-Gruppen berechnen zu können und Morita-Äquivalenzen zu verstehen.
Im Sommersemester 2017 wird die Veranstaltung durch Teil 2 fortgesetzt werden. Dann werden weiterführende Methoden der Darstellungstheorie wie Auslander-Reiten-Theorie und derivierte Kategorien behandelt werden. Bei Interesse werden auch Seminare sowie Themen für Bachelor- und Masterarbeiten angeboten.

Kapitel 1: Algebren, Darstellungen und Moduln
Montag 17.10. k-Algebra, Zentrum, Gruppenalgebra, Wegealgebra
Mittwoch 19.10. Algebrenhomomorphismen und Isomorphismen, Beispiele
Freitag 21.10. Darstellungen, reguläre Darstellung, Homomorphismen und Isomorphismen, zerlegbar und unzerlegbar, einfache Algebra, paarweise orthogonale Idempotente und Zerlegung der regulären Darstellung
Montag 24.10. Moduln, Homomorphismen. Entgegengesetzte Algebra, k-Dualität. Darstellungen und Moduln.
Mittwoch 26.10. Teilmodul, Quotientenmodul, einfach, halbeinfach. Bimodul. Homomorphismenraum als Bimodul.
Montag 31.10. Endomorphismenring, nochmal Homomorphismenraum als Bimodul.

Kapitel 2: Darstellungen von Köchern
Montag 31.10. Darstellungen und Rechtsmoduln, Homomorphismen.
Mittwoch 2.11. Darstellungen des Köchers mit zwei Punkten und einem Pfeil. Der Kronecker-Köcher.
Montag 14.11. Unzerlegbare Darstellungen oberer Dreiecksmatrizen. n-Unterraum-Probleme.
Mittwoch 16.11. 4-Unterraum-Problem. Einfach Moduln von Wegealgebren.

Kapitel 3: Einfache Moduln und Radikale
Mittwoch 16.11. Einfache Moduln und maximale Linksideale.
Montag 21.11. Schurs Lemma. Jacobson-Radikal, Charakterisierungen.
Mittwoch 23.11. Nilpotente Ideale. Annulatoren. Radikal eines Moduls, halbeinfache Moduln.
Montag 28.11. Additivität des Radikals, Homomomorphismen. Nakayamas Lemma. Nilpotenz des Radikals. Radikal eines Moduls und der Algebra.
Mittwoch 30.11. Satz von Wedderburn und Artin.

Kapitel 4: Kategorien und Funktoren
Mittwoch 30.11. Definition Kategorie, Beispiele.
Montag 5.12. Mono- und Epimorphismen, Beispiele. Produkt, Coprodukt.
Mittwoch 7.12. Beispiele von Produkten und Coprodukten, Eindeutigkeit. Additive Kategorien, K-Kategorien. Kern, Cokern.
Montag 12.12. Beispiele und Eigenschaften von Kernen und Cokernen. Abelsche Kategorien. Exakte Sequenzen. Funktoren, Beispiele.
Mittwoch 14.12. Weitere Beispiele. Natürliche Transformation, Äquivalenz von Kategorien. Funktorkategorien. Beispiele von Äquivalenzen.
Montag 19.12. Yonedas Lemma. Charakterisierung von Äquivalenzen als voll-treue und dichte Funktoren.

Kapitel 5: Projektive Moduln und Zerlegungen
Mittwoch 21.12. Definition projektiv. Projektive Moduln. Projektiv und halbeinfach. Projektiv und kurze exakte Sequenzen. Satz von Maschke.
Montag 9.1. Retraktion und Koretraktion, Idempotente und Zerlegungen. Projektivisierung.
Mittwoch 11.1. Hochheben von Idempotenten. Zerlegungen von A und von A/rad(A). Satz von Krull-Remak-Schmidt. Primitive Idempotente. Zerlegungen der 1.
Montag 16.1. Lokale Ringe. Kompositionsreihen und Kompositionsfaktoren.
Mittwoch 18.1. Satz von Jordan-Hölder. Idempotente und Kompositionsfaktoren.

Kapitel 6: Morita-Äquivalenzen.
Mittwoch 18.1. Problemstellung. Strategie. Äquivalenzen bilden Epimorphismen auf Epimorphismen ab.
Montag 23.1. Eigenschaften, die unter Äquivalenzen erhalten bleiben. Exaktheit. Additivität. Generatoren, Progeneratoren.
Mittwoch 25.1. Adjungierte Paare. Tensorprodukt. Beispiele.
Montag 30.1. Adjunktionsformel. Rechtsexakt, flache Moduln. Der Satz von Morita, Folgerungen.
Mittwoch 1.2. Beweis des Satzes von Morita. Satz von Eilenberg und Watts.
Montag 6.2. Beweis des Satzes von Eilenberg und Watts.

Kapitel 7: Ext¹
Montag 6.2. Kurze exakte Sequenzen und Erweiterungen, Äquivalenz von Erweiterungen. Pullback.
Mittwoch 8.2. Pushout. Beispiele. Funktorialität und Addition von Ext¹. Charaktersierungen: projektiv, halbeinfach. Zusammenhang mit Homomorphismen und lange exakte Sequenzen. Anwendung: Berechnung von Ext¹; Beispiel.

Übungsblätter
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7 (Teilaufgabe 4(a) korrigiert.)
Blatt 8
Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11
Blatt 12

Literatur (wird im Laufe des Semesters ergänzt):
Darstellungstheorie:
I.Assem, D.Simson and A.Skowronski, Elements of the representation theory of associative algebras. Volume 1: Techniques of representation theory (elementare Einführung, Standardmaterial, weitere Bände sind spezieller)
M.Auslander, I.Reiten and S.Smalo, Representation theory of artin algebras (Einführung, Standardmaterial)
C.Curtis and I.Reiner, Representation theory of associative algebras (sehr detaillierte Einführung, vertieft durch:) Methods of representation theory, vol 1 and 2
W.Fulton and J.Harris, Representation Theory: A first course (Einführung in die Darstellungstheorie anhand detailliert ausgearbeiteter Beispiele, vor allem Darstellungstheorie von Gruppen und von Lie-Algebren)
J.Alperin and R.Bell, Groups and representations (elementare Einführung)
R.Schiffler, Quiver representations (elementare Einführung)
M. Barot, Introduction to the representation theory of algebras
A.Zimmermann, Representation theory, A homological algebra point of view

Homologische Algebra:
C.Weibel, Introduction to homological algebra
J.Rotman, An introduction to homological algebra

Kategorientheorie:
S.Mac Lane, Categories for the working mathematician
T.Leinster, Basic category theory

Zweiter Teil der Vorlesung