Vorlesungsmitschrift:
Voraussetzungen:
Lineare Algebra 1 und 2, Grundbegriffe der Algebra
Inhalt:
Im Teil 1 der Vorlesung (Wintersemester) soll zunächst eine
Einführung in die Darstellungstheorie von Gruppen und Algebren gegeben
werden. Bei der Behandlung von Grundproblemen der Darstellungstheorie werden
dann auch die Sprache der Kategorientheorie eingeführt sowie grundlegende
Methoden der homologischen Algebra. (Kategorientheorie und homologische Algebra
sind auch in anderen Gebieten wie algebraische Topologie und algebraische
Geometrie wichtig.) Ziel in diesem Semester ist, zum Beispiel Ext-Gruppen
berechnen zu können und Morita-Äquivalenzen zu verstehen.
Im Sommersemester 2017 wird die Veranstaltung durch Teil 2 fortgesetzt werden.
Dann werden weiterführende Methoden der Darstellungstheorie wie
Auslander-Reiten-Theorie und derivierte Kategorien
behandelt werden. Bei Interesse werden auch Seminare
sowie Themen für Bachelor- und Masterarbeiten angeboten.
Kapitel 1: Algebren, Darstellungen und Moduln
Montag 17.10. k-Algebra, Zentrum, Gruppenalgebra, Wegealgebra
Mittwoch 19.10. Algebrenhomomorphismen und Isomorphismen, Beispiele
Freitag 21.10. Darstellungen, reguläre Darstellung, Homomorphismen und
Isomorphismen, zerlegbar und unzerlegbar, einfache Algebra, paarweise
orthogonale Idempotente und Zerlegung der regulären Darstellung
Montag 24.10. Moduln, Homomorphismen. Entgegengesetzte Algebra,
k-Dualität. Darstellungen und Moduln.
Mittwoch 26.10. Teilmodul, Quotientenmodul, einfach, halbeinfach. Bimodul.
Homomorphismenraum als Bimodul.
Montag 31.10. Endomorphismenring, nochmal Homomorphismenraum als Bimodul.
Kapitel 2: Darstellungen von Köchern
Montag 31.10. Darstellungen und Rechtsmoduln, Homomorphismen.
Mittwoch 2.11. Darstellungen des Köchers mit zwei Punkten und einem
Pfeil. Der Kronecker-Köcher.
Montag 14.11. Unzerlegbare Darstellungen oberer Dreiecksmatrizen.
n-Unterraum-Probleme.
Mittwoch 16.11. 4-Unterraum-Problem. Einfach Moduln von Wegealgebren.
Kapitel 3: Einfache Moduln und Radikale
Mittwoch 16.11. Einfache Moduln und maximale Linksideale.
Montag 21.11. Schurs Lemma. Jacobson-Radikal, Charakterisierungen.
Mittwoch 23.11. Nilpotente Ideale. Annulatoren. Radikal eines Moduls,
halbeinfache Moduln.
Montag 28.11. Additivität des Radikals, Homomomorphismen. Nakayamas
Lemma. Nilpotenz des Radikals. Radikal eines Moduls und der Algebra.
Mittwoch 30.11. Satz von Wedderburn und Artin.
Kapitel 4: Kategorien und Funktoren
Mittwoch 30.11. Definition Kategorie, Beispiele.
Montag 5.12. Mono- und Epimorphismen, Beispiele. Produkt, Coprodukt.
Mittwoch 7.12. Beispiele von Produkten und Coprodukten, Eindeutigkeit.
Additive Kategorien, K-Kategorien. Kern, Cokern.
Montag 12.12. Beispiele und Eigenschaften von Kernen und Cokernen. Abelsche
Kategorien. Exakte Sequenzen. Funktoren, Beispiele.
Mittwoch 14.12. Weitere Beispiele. Natürliche Transformation,
Äquivalenz von Kategorien. Funktorkategorien. Beispiele von
Äquivalenzen.
Montag 19.12. Yonedas Lemma. Charakterisierung von Äquivalenzen als
voll-treue und dichte Funktoren.
Kapitel 5: Projektive Moduln und Zerlegungen
Mittwoch 21.12. Definition projektiv. Projektive Moduln. Projektiv und
halbeinfach. Projektiv und kurze exakte Sequenzen. Satz von Maschke.
Montag 9.1. Retraktion und Koretraktion, Idempotente und Zerlegungen.
Projektivisierung.
Mittwoch 11.1. Hochheben von Idempotenten. Zerlegungen von A und von
A/rad(A). Satz von Krull-Remak-Schmidt. Primitive Idempotente.
Zerlegungen der 1.
Montag 16.1. Lokale Ringe. Kompositionsreihen und Kompositionsfaktoren.
Mittwoch 18.1. Satz von Jordan-Hölder. Idempotente und
Kompositionsfaktoren.
Kapitel 6: Morita-Äquivalenzen.
Mittwoch 18.1. Problemstellung. Strategie. Äquivalenzen bilden
Epimorphismen auf Epimorphismen ab.
Montag 23.1. Eigenschaften, die unter Äquivalenzen erhalten bleiben.
Exaktheit. Additivität. Generatoren, Progeneratoren.
Mittwoch 25.1. Adjungierte Paare. Tensorprodukt. Beispiele.
Montag 30.1. Adjunktionsformel. Rechtsexakt, flache Moduln. Der Satz von
Morita, Folgerungen.
Mittwoch 1.2. Beweis des Satzes von Morita. Satz von Eilenberg und Watts.
Montag 6.2. Beweis des Satzes von Eilenberg und Watts.
Kapitel 7: Ext1
Montag 6.2. Kurze exakte Sequenzen und Erweiterungen, Äquivalenz von
Erweiterungen. Pullback.
Mittwoch 8.2. Pushout. Beispiele. Funktorialität und Addition von
Ext1. Charaktersierungen: projektiv, halbeinfach. Zusammenhang mit
Homomorphismen und lange exakte Sequenzen. Anwendung: Berechnung von
Ext1; Beispiel.
Übungsblätter
Blatt 1
Blatt 2
Blatt 3
Blatt 4
Blatt 5
Blatt 6
Blatt 7 (Teilaufgabe 4(a) korrigiert.)
Blatt 8
Blatt 9
Blatt 10
Blatt 11
Blatt 12
Literatur (wird im Laufe des
Semesters ergänzt):
Darstellungstheorie:
I.Assem, D.Simson and A.Skowronski,
Elements of the representation theory of associative algebras. Volume 1:
Techniques of representation theory (elementare
Einführung, Standardmaterial,
weitere Bände sind spezieller)
M.Auslander, I.Reiten and S.Smalo, Representation theory of artin algebras
(Einführung, Standardmaterial)
C.Curtis and I.Reiner, Representation theory of associative algebras (sehr
detaillierte Einführung, vertieft durch:) Methods of representation
theory, vol 1 and 2
W.Fulton and J.Harris, Representation Theory: A first course (Einführung
in die Darstellungstheorie anhand detailliert ausgearbeiteter Beispiele,
vor allem Darstellungstheorie von Gruppen und von Lie-Algebren)
J.Alperin and R.Bell, Groups and representations (elementare Einführung)
R.Schiffler, Quiver representations (elementare Einführung)
M. Barot, Introduction to the representation theory of algebras
A.Zimmermann, Representation theory, A homological algebra point of view
Homologische Algebra:
C.Weibel, Introduction to homological algebra
J.Rotman, An introduction to homological algebra
Kategorientheorie:
S.Mac Lane, Categories for the working mathematician
T.Leinster, Basic category theory
Zweiter Teil der Vorlesung