Lehre SoS2020

Lehre Sommersemester 2020 Meinolf Geck

Lie algebras and Chevalley groups

Die Theorie der Lie-Algebren und Lie-Gruppen ist ein zentrales Gebiet der modernen Mathematik, mit Bezügen zur Algebra, Analysis, Geometrie sowie zahlreichen Anwendungen etwa in der mathematischen Physik. Die Vorlesung gibt eine elementare Einführung in den algebraischen Teil dieser Theorie. Ziele sind die allgemeine Strukturtheorie der einfachen Lie-Algebren, ihre Klassifikation durch Dynkin-Diagramme sowie die Konstruktion von Chevalley-Gruppen (= algebraische Analoga von Lie-Gruppen). Die Vorlesung versucht, möglichst direkt auch einige neuere Entwicklungen mit einzubiehen: Lusztig's ``kanonische'' Basen von einfachen Lie-Algebren, und die damit vereinfachte Konstruktion der Chevalley-Gruppen. (Dies beruht auf Arbeiten, die seit 1990 erschienen sind.) Die Vorlesung ist geeignet als Bachelor-Vertiefung oder Masters-Vorlesung; sie wird auf Englisch gehalten.

Voraussetzung sind ein gutes Verständnis des Stoffes von LAAG I und II, inkl. Grundbegriffe zu Gruppen und Ringen; ansonsten werden keine besonderen Vorkenntnisse benötigt. Basierend auf dieser Vorlesung können Bachelor-, Master- und Staatsexamensarbeiten vergeben werden.

Einen sehr interessanten historischen Hintergrundartikel finden Sie hier.

Vorlesung Di 9:45 - 11:15 (8.339), Mi 8:00 - 9:30 (7.530).

Übung Di 14:00 - 15:30 (7.331).

Ankündigungen: Aufgrund der aktuellen Entwicklungen findet die Veranstaltung online statt; weitere Informationen in ILIAS.

Scheinbedingung: Hausaufgaben (werden jeweils angekündigt), regelmässige Teilnahme an den (online-)Übungen.

Skript (korrigiert 17.12.2020). Übungsblätter: 1, 2. 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12.

Literatur zur Vorlesung:

N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, Chap. I - IX, Springer-Verlag.
R. W. Carter, Simple groups of Lie type, Wiley, New York, 1972.
K. Erdmann and M. Wildon, Introduction to Lie algebras, Springer Undergraduate Math. Series, 2006.
M. Geck, On the construction of semisimple Lie algebras and Chevalley groups, Proc. Amer. Math. Soc. (2017).
R. Howe, Very basic Lie theory, Amer. Math. Monthly 90 (1983), 600-623.
J. E. Humphreys, Introduction to Lie algebras and representation theory, Springer-Verlag, 1972.
V. Kac, Infinite dimensional Lie algebras. Cambridge University Press, 1985.
R. V. Moody and A. Pianzola, Lie algebras with triangular decompositions, Canad. Math. Soc. Ser., Monographs and Advanced Texts, Wiley, New York, 1995.
J. Stillwell, Naive Lie Theory, Springer Undergraduate Math. Series, 2008.

Frei verfügbare Software zum Ausprobieren und Experimentieren parallel zur Vorlesung: GAP, OSCAR, ChevLie.

Computer-Praktikum

Die Materialien zu den Themen des 2. Teils (Algebra) werden rechtzeitig im ILIAS verfügbar sein. Ein webex-Meeting zu den Themen des 2. Teils ist geplant für Mittwoch, 20.5., 13 Uhr.