2.9.7  Eine Zusammenstellung der Hierarchie der Strukturen.

In den Punkten 2.6, 2.7 und 2.9.6 wurde bei der Untersuchung der Räume ${ℝ}^n$ und ${ℂ}^n$ eine Reihe von Strukturen herausgearbeitet, welche eine weit über den Rahmen dieser Vorlesung hinausgehende zentrale Bedeutung in der mathematischen Analysis besitzen. Wir wollen deshalb diese Strukturen hier nochmals benennen und zusammenstellen und kurz deren gegenseitige Beziehungen andeuten.

Es sei $M$ eine Menge und $T$ eine Familie von Teilmengen aus $M$ welche die Eigenschaften (2.50)-(2.52) besitzt. Dann heisst $\left(M,T\right)$ topologischer Raum und $T$ ist die Topologie auf $M$. Dies ist häufig eine der allgemeinsten Strukturen, welche in der Analysis betrachtet wird.

Gibt es auf $M$ eine Abstandsfunktion $d$ mit der Axiomatik (2.7)-(2.9), so nennt man $\left(M,d\right)$ einen metrischen Raum. Im Rahmen dieser Struktur haben wir die Begriffe des Grenzwertes und der Vollständigkeit diskutiert. Die Familie der offenen Mengen eines metrischen Raumes bilden stets eine (die induzierte) Topologie. Jeder metrische Raum ist damit auf kanonische Weise immer auch ein topologischer Raum.

Die Menge $M=X$ besitze nun die lineare Struktur eines reellen oder komplexen Vektorraumes. Gibt es auf $X$ eine Norm $\parallel \cdot \parallel$ mit den Eigenschaften (2.25), so nennt man $\left(X,\parallel \cdot \parallel \right)$ einen normierten Raum. Eine solche Norm induziert auf $X$ stets eine kanonische Abstandsfunktion $d\left(x,y\right)=\parallel x-y\parallel$, welche $X$ in einen metrischen Raum (und damit einen topologischen Raum) transformiert. Konvergenz und Vollständigkeit in einem normierten Raum werden als Konvergenz und Vollständigkeit im induzierten metrischen Raum verstanden. Vollständige normierte Räume heißen Banachräume.

Es sei $M=X$ ein reeller oder komplexer linearer Vektorraum. Existiert auf $X$ ein reelles Skalarprodukt mit den Eigenschaften (2.23) bzw. ein komplexes Skalarprodukt mit den Eigenschaften (2.28), so nennt man $X$ einen euklidschen bzw. hermitschen Raum. Ein Skalarprodukt definiert wie in den Sätzen 2.6.2 und 2.7.2 gezeigt eine kanonische Norm . Damit ist ein euklidscher bzw. hermitscher Raum stets auch ein normierter Raum. Ist $X$ bezüglich dieser induzierten Norm vollständig, so heisst $X$ Hilbertraum.

Es wurde gezeigt, dass die Menge $K^n$ mit $K=ℝ$ oder $K=ℂ$ über alle genannten Strukturen verfügt. Wir werden noch im Verlauf dieser Vorlesung andere wichtige Beispiele solcher Räume antreffen. Zu jedem dieser Raumbegriffe gibt es eine eigenständige mathematische Theorie, welche durch ihrer Tiefe und Bedeutung eine tragende Säule der modernen Mathematik formen. An dieser Stelle genügt es uns, die genannten Strukturen erkennen und benennen zu können.