Die Euklidsche Struktur - das reelle Skalarprodukt.

2.6.2 Die Euklidsche Struktur - das reelle Skalarprodukt.

Es sei $X$ ein reeller linearer Vektorraum. Ein reelles Skalarprodukt ist eine Abbildung

<\cdot, \cdot> : X \times X \to ℝ

mit folgenden Eigenschaften:

\begin{matrix} <x, y> & = & <y, x>, \\ <α^{'} x^{'} + α^{″} x^{″}, y> & = & α^{'} <x^{'}, y> + α^{″} <x^{″}, y>, \\ <x, x> \geq 0 & \land & <x, x> = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in X \end{matrix}

(2.23)

für beliebige $x, y, x^{'}, x^{″} \in X$ und $α^{'}, α^{″} \in ℝ$ . Aus der ersten und zweiten Identität von (2.23) folgt

<x, β^{'} y^{'} + β^{″} y^{″}> = β^{'} <x, y^{'}> + β^{″} <x, y^{″}>

für beliebige $x, y^{'}, y^{″} \in X$ und $β^{'}, β^{″} \in ℝ$ : Das reelle Skalarprodukt ist linear im ersten und im zweiten Argument. Für $X = ℝ^{n}$ und

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n}, y = (y_{1}, \dots, y_{n}) \in ℝ^{n},

gibt es folgende kanonische Wahl des Skalarproduktes

<x, y> : = x_{1} y_{1} + \dots + x_{n} y_{n} .

(2.24)

Problem 2.6.1. Verifizieren Sie die Eigenschaften (2.23) für (2.24).

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