Die Hermitsche Struktur - das komplexe Skalarprodukt.

2.7.2 Die Hermitsche Struktur - das komplexe Skalarprodukt.

Es sei $X$ ein komplexer linearer Vektorraum. Ein komplexes Skalarprodukt ist eine Abbildung

<\cdot, \cdot> : X \times X \to ℂ

mit folgenden Eigenschaften:

\begin{matrix} <x, y> & = & \bar{<y, x>}, \\ <α^{'} x^{'} + α^{″} x^{″}, y> & = & α^{'} <x^{'}, y> + α^{″} <x^{″}, y>, \\ <x, x> \geq 0 & \land & <x, x> = 0 \Leftrightarrow x = 0 \in X \end{matrix}

(2.28)

für beliebige $x, y, x^{'}, x^{″} \in X$ und $α^{'}, α^{″} \in ℂ$ . Aus der ersten und zweiten Identität von (2.28) folgt

<x, β^{'} y^{'} + β^{″} y^{″}> = \bar{β^{'}} <x, y^{'}> + \bar{β^{″}} <x, y^{″}>

für beliebige $x, y^{'}, y^{″} \in X$ und $β^{'}, β^{″} \in ℂ$ : Das komplexe Skalarprodukt ist linear im ersten und antilinear im zweiten Argument. Für $X = ℂ^{n}$ und

x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℂ^{n}, y = (y_{1}, \dots, y_{n}) \in ℂ^{n},

gibt es folgende kanonische Wahl des Skalarproduktes

<x, y> : = x_{1} \bar{y_{1}} + \dots + x_{n} \bar{y_{n}} .

(2.29)

Problem 2.7.1. Verifizieren Sie die Eigenschaften (2.28) für (2.29).

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