Der Euklidische Raum ℝn

2.6 Der Euklidische Raum $ℝ^{n}$

Die Menge $ℝ^{n}$ ist gegeben durch das $n$ -fache kartesische Produkt

ℝ^{n} = \underset{n Faktoren}{\underset{︸}{ℝ \times \dots \times ℝ}} .

Elemente aus $ℝ^{n}$ sind Vektoren $x = (x_{1}, \dots, x_{n})$ mit $n$ reellen Komponenten $x_{j} \in ℝ$ für $j = 1, \dots, n$ . Wir können dann die Operation der Addition $+ : ℝ^{n} \times ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ zweier Vektoren $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n}$ und $y = (y_{1}, \dots, y_{n}) \in ℝ^{n}$ definieren:

x + y = (x_{1} + y_{1}, \dots, x_{n} + y_{n}) .

Die Multiplikation $\cdot : ℝ \times ℝ^{n}$ eines Skalars⁹ $α \in ℝ$ mit einem Vektor $x = (x_{1}, \dots, x_{n}) \in ℝ^{n}$ definiert man wie folgt

α x = (α x_{1}, \dots, α x_{n}) .

Damit werden diese Operationen auf die Addition und Multiplikation auf dem Körper $ℝ$ zurückgeführt.

Man überprüft leicht, dass die Menge $ℝ^{n}$ mit den beiden oben definierten Operationen folgende Strukturen besitzt:

  2.6.1  Die Struktur des reellen linearen Vektorraumes.
  2.6.2  Die Euklidsche Struktur - das reelle Skalarprodukt.
  2.6.3  Die Struktur des reellen normierten Raumes.

⁹Reelle Zahlen (d.h. $1$ -Vektoren) nennt man auch Skalare.

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2.6 Der Euklidische Raum ℝn

2.6 Der Euklidische Raum $ℝ^{n}$