ℝn und ℂn als topologischer Raum.

Fassen wir die Eigenschaften der offenen Mengen zusammen. Es sei

(M, d)

ein metrischer Raum und

T

sei die Familie aller offenen Mengen in

M

. Dann gilt

\begin{array}{rcl} \emptyset \in T, & M \in T, & (2.50) \\ {F_{α}}_{α \in A} \subset T & \Rightarrow & \cup_{α \in A} F \in T, & (2.51) \\ {F_{k}}_{k = 1}^{n} \subset T & \Rightarrow & \cap_{k = 1}^{n} F_{k} \in T . & (2.52) \end{array}

Definition 2.9.27. Eine Familie $T$ von Teilmengen einer Grundmenge $M$ (d.h. $T \subset 2^{M}$ ), welche die Eigenschaften (2.50)-(2.52) erfüllt, nennt man eine Topologie auf $M$ , das Paar $(M, T)$ nennt man einen topologischen Raum. Die Elemente $U \in T$ sind Teilmengen von $M$ , welche man als Umgebungen bezeichnet.

Die Familie der offenen Mengen

T

eines metrischen Raumes

(M, d)

formt damit immer eine Topologie und verleiht

M

damit die Struktur eines topologischen Raumes

(M, T)

. Die auf diese Weise auf einem metrischen Raum erzeugte Topologie nennt man die kanonische oder die induzierte Topologie. Die Elemente dieser Topologie, d.h. die Umgebungen, sind nichts anderes als die offenen Mengen des metrischen Raumes.

Example 2.9.28. Ein wichtiges Beispiel topologischer Räume stellen $ℝ^{n}$ und $ℂ^{n}$ dar. Da $(ℝ^{n}, d_{∥ \cdot ∥})$ und $(ℂ^{n}, d_{∥ \cdot ∥})$ metrische Räume sind, so wird jeweils eine entsprechende topologische Struktur induziert. Die Umgebungen in diesen Topologien sind die offenen Mengen in $ℝ^{n}$ und $ℂ^{n}$ . Eine Menge $X$ ist dabei offen in $ℝ^{n}$ und $ℂ^{n}$ , wenn diese mit jedem ihrer Punkte $x_{0} \in X$ auch eine nichttriviale offene Kugel $U_{ε} (x_{0})$ , $ε > 0$ , enthält.

Problem 2.9.29. Auf jeder beliebigen Menge lässt sich zumindest die sogenannte triviale Topologie $T = P (M) = 2^{M}$ einführen. Zeigen Sie dazu, dass $P (M) = 2^{M}$ die Axiomatik der Topologie erfüllt. Diese Wahl der Topologie erweist sich für Anwendungen aber oft als ungeeignet. Auf jeder Menge $M$ lässt sich ebenso eine triviale Abstandsfunktion $d (x, y) = 1$ für $x \neq y$ sowie $d (x, y) = 0$ für $x = y$ definieren. Zeigen Sie, dass $d$ die Axiomatik einer Abstandsfunktion erfüllt und dass diese triviale Metrik die triviale Topologie auf $M$ induziert!

2.9.6 ℝn und ℂn als topologischer Raum.

2.9.6 $ℝ^{n}$ und $ℂ^{n}$ als topologischer Raum.