Grundlegende Definitionen.

Definition 2.2.1. Eine Funktion $d : M \times M \to ℝ$ heißt Abstandsfunktion auf der Menge $M,$ falls sie folgende Axiome erfüllt: $\begin{array}{rcl} \forall_{x, y \in M} & (d (x, y) \geq 0) \land (d (x, y) = 0 \Leftrightarrow x = y), & (2.7) \\ \forall_{x, y \in M} & d (x, y) = d (y, x), & (2.8) \\ \forall_{x, y, z \in M} & d (x, z) \leq d (x, y) + d (y, z) . & (2.9) \end{array}$

Das Paar $(M, d)$ bezeichnet man als metrischen Raum.

Problem 2.2.2. Die Mengen $ℚ$ bzw. $ℝ$ mit der euklidschen Abstandsfunktion $d_{| \cdot |} (x, y) = | x - y |$ bilden jeweils einen metrischen Raum. Verifizieren Sie die Axiome (2.7)-(2.9)!

Wir betrachten nun einen metrischen Raum

(M, d)

. Es sei

x

ein Punkt in

M

, d.h.

x \in M

und

ε

sei eine reelle positive Zahl. Dann beschreibt die Menge

Definition 2.2.3. Es sei ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ eine Folge von Elementen $x_{n} \in M$ . Diese Folge konvergiert im metrischen Raum $(M, d)$ gegen $y \in M$ genau dann wenn folgende Aussage wahr ist:

\forall_{ε > 0} \exists_{N_{ε} \in ℕ} \forall_{n \geq N_{ε}, n \in ℕ} x_{n} \in U_{ε} (y) .

Wir schreiben dann $y \overset{(M, d)}{=} lim_{n \to \infty} x_{n}$ oder ${x_{n}}_{n \in ℕ} \overset{(M, d)}{\to} y$ .

Der Begriff des Grenzwertes hängt damit wesentlich von der Metrik (d.h. der Abstandsfunktion) ab.⁴ Für gegebenes

(M, d)

ist der Grenzwert einer Folge, sofern er existiert, eindeutig bestimmt.

Problem 2.2.4. Beweisen Sie die Eindeutigkeit des Grenzwertes durch geeignete Modifikation des entsprechenden Argumentes für rationale und reelle Folgen!

Problem 2.2.5. Zeigen Sie, dass für einen gegebenen metrischen Raum $(M, d)$ und eine Folge ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ mit Elementen $x_{n} \in M$ sowie $y \in M$ gilt

{x_{n}}_{n \in ℕ} \overset{(M, d_{M})}{\to} y \Leftrightarrow d_{M} (x_{n}, y) \overset{(ℝ, d_{| \cdot |})}{\to} 0 .

⁴So kann man z.B. auf jeder Menge $M$ eine Abstandsfunktion $\tilde{d}$ definieren durch $\tilde{d} (x, y) = 1$ für $x \neq y$ und $\tilde{d} (x, x) = 0$ . Diese Metrik wird die triviale Metrik genannt. Dann konvergiert eine Folge ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ in $(M, \tilde{d})$ offensichtlich genau dann wenn alle Folgenglieder ab einem gewissen $n_{0}$ gleich sind, d.h. $x_{n} = x_{n_{0}}$ für alle $n \geq n_{0}$ . So konvergiert z.B. die Folge $x_{n} = n^{- 1}$ in $(ℝ, d_{| \cdot |})$ gegen Null, während dieselbe Folge in $(ℝ, \tilde{d})$ nicht konvergiert. Im weiteren betrachten wir im Fall $M = ℝ$ zunächst aber immer die euklidschen Abstandsfunktion $d = d_{| \cdot |}$ auf $ℝ$ .

2.2.1 Grundlegende Definitionen.