Ein komplexer linearer Vektorraum ist ein komplexer normierter Raum, wenn auf eine Abbildung definiert ist, welche die Norm auf genannt wird und welche die Eigenschaften 2.25 erfüllt, wobei der Quantor durch zu ersetzen ist.
Liegt auf ein komplexes Skalarprodukt vor, so ist eine kanonische Wahl der Norm durch folgende Aussage gegeben:
Theorem 2.7.2. Auf einem komplexen linearen Vektorraum sei ein komplexes Skalarprodukt gegeben. Dann definiert eine Norm auf .
Im Spezialfall ergibt sich die damit kanonische Definition der Norm
| (2.30) |
Der Satz 2.7.2 basiert auf der komplexen Variante der Ungleichung von Cauchy-Schwarz-Bunjakowskij:
Lemma 2.7.3. Auf einem komplexen linearen Vektorraum sei ein komplexes Skalarprodukt gegeben. Dann gilt
| (2.31) |
Beweis. Es seien . Da für aus der Antilinearität des Skalarproduktes im zweiten Argument folgt, ist die Aussage für trivial. Es sei also und damit . Nach (2.23) gilt für beliebiges
Setzt man hier , so ergibt sich
Nach Multiplikation mit geht dies über in
| (2.32) |
Falls so folgt aus (2.32) die gesuchte Ungleichung (2.31). Falls betrachte man die komplexe Zahl , für welche offensichtlich
gilt. Wendet man nun (2.32) an, wobei auf beiden Seiten durch ersetzt wird, so findet man
und damit wegen sowie wegen
schliesslich (2.31). □
Wiederum gilt Gleichheit in (2.31) nur bei Kollinearität von und .
Wir beschränken uns beim Beweis von Satz 2.7.2 auf die Herleitung der Dreiecksungleichung: Es gilt nach kanonischer Wahl der Norm sowie (2.31)