Der Abschluss einer Menge.

Die Identität (2.46) bezeugt, dass durch das Hinzufügen des Randes oder alternativ der Häufungspunkte von

X

X

jeweils die gleiche Menge

\bar{X}

entsteht.

Beweis. Ist $int (X)$ oder $ext (X)$ leer, so ist die Aussage für die entsprechende Menge trivial. Wir betrachten ein beliebiges Element $x_{0} \in int (X)$ und zeigen dass $x_{0} \in int (int (X))$ . Nach Definition gilt $U_{ε} (x_{0}) \subset X$ für gewisses $ε > 0$ . Für jedes $y \in U_{ε ∕ 2} (x_{0})$ folgt nach Dreiecksungleichung $U_{ε ∕ 2} (y) \subset U_{ε} (x_{0}) \subset X$ . Damit gilt $y \in int (X)$ und folglich $U_{ε ∕ 2} (x_{0}) \subset int (X)$ . Damit ist ein jeder Punkt $x_{0} \in int (X)$ immer auch ein innerer Punkt von $int (X)$ und damit ist $int (X)$ offen.

Der Beweis für $ext (X)$ erfolgt analog. □

Beweis. Nach (2.46) gilt

{(\bar{X})}_{M}^{c} = {(X \cup \partial X)}_{M}^{c} = {(int (X) \cup \partial X)}_{M}^{c} .

Aufgrund der Zerlegung (2.43) folgt ${(\bar{X})}_{M}^{c} = ext (X)$ . Letztere Menge ist nach Lemma 2.9.32 offen, damit ist $\bar{X}$ abgeschlossen. □

Example 2.9.34. Es sei $(M, d) = (ℝ^{n}, d_{∥ \cdot ∥})$ und $X = U_{ε} (x_{0})$ , $x_{0} \in ℝ^{n}$ und $ε > 0$ . Dann gilt $\partial X = {x \in ℝ^{n} | ∥ x - x_{0} ∥ = ε}$ und somit $\bar{U_{ε} (0)} = {x \in ℝ^{n} | ∥ x - x_{0} ∥ \leq ε}$ .

Theorem 2.9.36. Der Abschluss $\bar{X}$ einer Menge $X$ ist die kleinste abgeschlossene Menge $Y$ mit der Eigenschaft $X \subset Y$ , d.h.

\bar{X} = ⋂_{\overset{Y \subset M mit X \subset Y und}{Y abgeschlossen}} Y .

(2.53)

Beweis. Es sei $\tilde{X}$ der Durchschnitt der abgeschlossenen Mengen $Y \subset M$ mit $X \subset Y$ in (2.53). Offensichtlich gilt $\tilde{X} \subset Y$ für jede im Durschnitt vorkommende Menge $Y$ . Da $\bar{X}$ abgeschlossen ist und $X$ enthält, so kann man u.a. $Y = \bar{X}$ wählen, woraus sofort $\tilde{X} \subset Y = \bar{X}$ folgt.

Um die umgekehrte Inklusion zu zeigen, betrachten wir nun eine beliebige abgeschlossene Menge $Y \subset M$ mit $X \subset Y$ . Nach Lemma 2.9.4 folgt aus $X \subset Y$ sofort $acc (X) \subset Y$ und damit auch

\bar{X} = X \cup acc (X) \subset Y \cup acc (Y) .

Da $Y$ abgeschlossen ist gilt nach (2.49) $acc (Y) \subset Y$ und damit

\bar{X} \subset Y \cup acc (Y) = Y .

Diese Inklusion gilt für jede Menge $Y$ , über welche der Durschnitt in (2.53) gebildet wird, woraus $\bar{X} \subset \tilde{X}$ folgt. □

Beweis. Aus (2.54) folgt nach Satz 2.9.31, dass $X$ abgeschlossen ist. Ist umgekehrt $X$ abgeschlossen, so ist $X$ selbst die kleinste abgeschlossene Menge welche $X$ enthält, d.h. nach Satz 2.9.36 $X = \bar{X}$ . □

Wir diskutieren nun eine alternative Beschreibung des Abschlusses einer Menge. Danach ist der Abschluss

\bar{X}

von

X

die Menge aller möglichen Grenzwerte von Folgen mit Elementen in

X

Beweis. Wir zeigen zunächst die Implikation $\Leftarrow$ . Angenommen $y$ sei der Grenzwert einer Folge von Elementen $x_{k}$ aus $X$ . Ist dabei $y \in X$ so folgt $y \in \bar{X}$ trivial. Es sei nun $y \neq X$ . Da es für jedes $ε > 0$ ein $N$ existiert, so dass $x_{k} \in U_{ε} (y)$ für alle $k \geq N$ und $y \neq x_{k} \in X$ , so ist der Durchschnitt $U_{ε} (y) \cap (X \ {y})$ für beliebiges $ε > 0$ nichtleer, d.h. $y \in acc (X)$ . Aus $acc (X) \subset \bar{X}$ folgt somit $y \in \bar{X}$ .

Zum Nachweis der Implikation $\Rightarrow$ betrachten wir ein beliebiges Element $y \in \bar{X}$ . Gilt dabei $y \in X$ , so erfüllt die konstante Folge $x_{k} = y$ die Bedingungen des Satzes. Wegen $\bar{X} = X \cup acc (X)$ bleibt der Fall $y \in acc (X)$ zu untersuchen. Dann ist für $ε_{k} = k^{- 1}$ , $k \in ℕ$ , der Durchschnitt $X \cap U_{ε_{k}} (y)$ jeweils nichtleer. Wir können dann eine Folge von Elementen $x_{k} \in X \cap U_{ε_{k}} (y)$ wählen, welche offensichtlich gegen $y$ konvergiert. □

2.9.8 Der Abschluss einer Menge.