Die Parametrisierung einer Kurve durch ihre Bogenlange.

4.9.3 Die Parametrisierung einer Kurve durch ihre Bogenlänge.

Wie oben bereits angedeutet ist die Wahl einer erzeugenden Funktion $φ : [a, b] \to ℝ^{n}$ zur Parametrisierung einer als Punktmenge gegebenen Kurve $Γ = Γ_{φ}$ einer gewissen Willkürlichkeit unterworfen. Ist jedoch erst einmal eine $C^{1}$ -Darstellung $Γ_{φ} = φ ([a, b])$ gegeben, so kann man eine kanonische Parametrisierung konstruieren, welche sich auf geometrische (und damit von der konkreten Wahl von $φ$ unabhängige) Daten der Kurve stützt.

Es sei $φ$ eine Parametrisierung der Klasse $C^{1}$ . Damit gilt insbesondere $φ^{'} (t) \neq 0$ für alle $t \in [a, b]$ . Wir betrachten nun die Bogenlänge $S (t)$ des Kurvenabschnittes $Γ_{t} = φ ([a, t])$ . Dann gilt

S (t) = \int_{a}^{t} ∥ φ^{'} (τ) ∥ d τ, t \in [a, b] .

Folglich ist $S : [a, b] \to [0, L (Γ_{φ})]$ nach Lemma 4.5.2 eine stetige Funktion, welche wegen Satz 4.3.6 und Satz 4.3.5

S^{'} (t) = ∥ φ^{'} (t) ∥ > 0

(4.66)

erfüllt, und damit nach Satz 3.10.2 streng monoton wächst. Also existiert eine nach Satz 2.12.28 stetige inverse Abbildung $S^{- 1} : [0, L (Γ_{φ})] \to [a, b]$ . Diese ist in der Variablen $s = S (t)$ stetig differenzierbar wobei

{\frac{d S^{- 1}}{d s}|}_{s = s_{0}} = \frac{1}{{\frac{d S}{d t}|}_{t = t_{0}}} = \frac{1}{∥ φ^{'} (t_{0}) ∥}, s_{0} = S (t_{0}) .

Wir betrachten nun die Parametrisierung $r : [0, L (Γ_{φ})] \to ℝ^{n}$ , bei der jeder Punkt $r (s) \in Γ = Γ_{φ}$ die Bogenlänge $s$ des Kurvenstücks von $φ (a)$ bis $r (s)$ zugeordnet wird

r (s) = (φ \circ S^{- 1}) (s) = φ (t), s = S (t) .

Man nennt dies auch die kanonische oder die natürliche Parametrisierung einer Jordanschen Kurve. Als Komposition stetig differenzierbarer Funktionen ist $r$ selbst stetig differenzierbar, und es gilt

\frac{d r (s_{0})}{d s} = (φ_{t}^{'} \circ S^{- 1}) (s_{0}) {(S^{- 1})}_{s}^{'} (s_{0}) = \frac{φ^{'} (t_{0})}{∥ φ^{'} (t_{0}) ∥} \neq 0, s_{0} = S (t_{0}) .

Damit gehört die Parametrisierung $r$ ebenfalls der Klasse $C^{1}$ an.

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