Beweis. Wir beweisen zunächst die erste Aussage im Fall $\Rightarrow$. Ist $f$ monoton wachsend, so gilt

Daraus folgt für beliebiges $x\in ]a,b[$ im Grenzwert $h\to 0$ die Aussage $f^{\prime }\left(x\right)=\underset{h\to 0}{lim}\phi \left(f;h,x\right)\ge 0$. Für die umgekehrte Implikation $\Leftarrow$ merken wir an, dass es nach der Formel von Langrange für beliebige $x_1,x_2\in \left[a,b\right]$ mit $x_1<x_2$ einen Punkt $\xi \in ]x_1,x_2[$ mit der Eigenschaft

gibt. Beide Faktoren auf der rechten Seite sind nichtnegativ, damit gilt $f\left(x_2\right)\ge f\left(x_1\right)$ und $f\uparrow$.

Es sei nun $f$ strikt monoton wachsend und wir betrachten zunächst die Implikationsrichtung $\Rightarrow$. Dann ist $f$ auch monoton wachsend und damit ist nach dem eben bewiesenen Kriterium $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ eine notwendige Voraussetzung für $f\uparrow \uparrow$. Angenommen es gäbe $\alpha ,\beta \in \left[a,b\right]$, $\alpha <\beta$, so dass $f^{\prime }\left(x\right)=0$ für $x\in ]\alpha ,\beta [$. Nach Satz 3.10.1 ist die Funktion $f\left(x\right)$ in diesem Fall konstant auf $\left[\alpha ,\beta \right]$, was der strikten Monotonie widerspricht. Für den Fall $\Leftarrow$ merken wir an, dass wie oben gezeigt aus $f^{\prime }\left(x\right)\ge 0$ die Monotonie von $f$ folgt. Angenommen $f$ ist nicht strikt monoton wachsend. Dann existieren $x_1,x_2\in \left[a,b\right]$ mit $x_1<x_2$ und $f\left(x_1\right)=f\left(x_2\right)$. Wegen $f\uparrow$ gilt damit

und folglich $f^{\prime }\left(x\right)=0$ für $x\in ]x_1,x_2[$. Dies steht im Widerspruch zur Voraussetzung. □