Zur Existenz von Stammfunktionen.

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung setzt die Existenz einer Stammfunktion

F

für

f

voraus. Wir formulieren nun ein hinreichendes Kriterium dafür.

Wir müssen für die in (4.20) definierte Funktion die Eigenschaften (4.17) - (4.19) überprüfen.

Beweis. Schritt 1: Die Stetigkeit von $F (x)$ . Nach (4.14) gilt

| F (x) - F (a) | = |\int_{a}^{x} f (t) d t| \leq M (x - a), M = max_{t \in [a, x]} | f (t) | .

Für $x \to a$ folgt demnach $F (x) \to F (a)$ und damit ist $F$ stetig im Punkt $a$ . Wir betrachten nun einen Punkt $x_{0} \in] a, b]$ . Für beliebiges $x \in [a, b]$ gilt wegen (4.12) $\begin{array}{rcl} | F (x) - F (x_{0}) | & = & |\int_{a}^{x} f (t) d t - \int_{a}^{x_{0}} f (t) d t| \\ = & |\int_{x_{0}}^{x} f (t) d t| \leq M | x - x_{0} | \end{array}$

für $M = sup_{t \in [a, b]} | f (t) |$ , und damit $F (x) \to F (x_{0})$ für $x \to x_{0}$ . Damit gilt $F \in C ([a, b], ℝ)$ .

Schritt 2: Wir zeigen nun $F^{'} (x_{0}) = f (x_{0})$ für beliebiges $x_{0} \in] a, b [$ . Es sei $φ (F; h, x_{0})$ der Differenzenquotient von $F$ . Dann gilt $\begin{array}{rcl} |φ (F; h, x_{0}) - f (x_{0})| & = & |h^{- 1} (F (x_{0} + h) - F (x_{0})) - f (x_{0})| \\ = & |h^{- 1} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f (t) d t - f (x_{0})| \\ = & |h^{- 1} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f (t) d t - h^{- 1} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} f (x_{0}) d t| \\ = & |h^{- 1} \int_{x_{0}}^{x_{0} + h} (f (t) - f (x_{0})) d t| . \end{array}$

Es sei $I_{x_{0}} (h) = [x_{0}, x_{0} + h]$ falls $h > 0$ bzw. $I_{x_{0}} (h) = [x_{0} + h, x_{0}]$ für $h \leq 0$ . Wegen $| f (t) - f (x_{0}) | \leq ω (f, I_{x_{0}} (h))$ und (4.14) gilt

|φ (F; h, x_{0}) - f (x_{0})| \leq | h^{- 1} | | ω (f, I_{x_{0}} (h)) | | h | = | ω (f, I_{x_{0}} (h)) | .

Nach Voraussetzung ist $f \in C ([a, b], ℝ)$ und nach dem Satz von Cantor ist $f$ damit gleichmässig stetig auf $[a, b]$ . Demnach gibt es zu jedem $ε > 0$ ein $Λ_{ε}$ , so dass $ω (f, I_{x_{0}} (h)) \leq ε$ für alle $h$ mit $| h | < Λ_{ε}$ . Daraus folgt $lim_{h \to 0} ω (f, I_{x_{0}} (h)) = 0$ und

F^{'} (x_{0}) : = lim_{h \to 0} φ (F; h, x_{0}) = f (x_{0}) .

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Remark 4.3.7. Wir merken an, dass nicht jede Funktion $f \in R [a, b]$ eine Stammfunktion besitzt. Es sei z.B. $f$ eine beliebige monotone Funktion auf $[a, b]$ . Dann ist nach Satz 4.1.8 $f \in R [a, b]$ . Als allgemeine monotone Funktion kann $f$ natürlich Sprungstellen besitzen. Gilt jedoch $f = F^{'}$ , so darf $f$ nach dem Satz von Darboux über keinerlei Sprungstellen verfügen! Damit ist eine monotone Funktion $f$ mit mindestens einer Sprungstelle zwar integrierbar, sie ist aber nicht die Ableitung einer in $] a, b [$ differenzierbaren Funktion. Insbesondere ist $F (x) = \int_{a}^{x} f (t) d t$ in den Sprungstellen nicht differenzierbar und stellt damit keine Stammfunktion dar.

Remark 4.3.8. Die in Punkt 4.3 getroffen Aussagen lassen sich sofort auf Funktionen $f : [a, b] \to K^{n}$ , $K \in {ℝ, ℂ}$ , einer reellen Variablen und deren Stammfunktionen $F : [a, b] \to K^{n}$ ausweiten, indem man die Ableitung in (4.19) als reelle Ableitung in $x \in] a, b [\subset ℝ$ versteht und die bewiesenen Sätze separat auf die Real- und Imaginärteile der einzelnen Vektorkomponenten anwendet.

4.3.3 Zur Existenz von Stammfunktionen.