Die Stammfunktion und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.

Definition 4.3.3. Die Funktion $F : [a, b] \to ℝ$ heisst genau dann Stammfunktion von $f [a, b] \to ℝ$ , wenn die folgenden drei Bedingungen erfüllt sind: $\begin{array}{rcl} F \in C ([a, b], ℝ), & (4.17) \\ F ist in] a, b [differenzierbar, & (4.18) \\ F^{'} = f |_{] a, b [} . & (4.19) \end{array}$

Man nennt $F = \int f (x) d x$ auch das unbestimmte Integral von $f$ oder die Aufleitung von $f$ .

Remark 4.3.4. Die Stammfunktion $F$ von $f$ ist, falls sie existiert, bis auf eine Konstante bestimmt. Erfüllt $F$ die Bedingungen (4.17) - (4.19), so gilt gleiches für $F (x) + C$ . Umgekehrt seien $F$ und $\tilde{F}$ Stammfunktionen von $f$ . Dann gilt $G = F - \tilde{F} \in C ([a, b], ℝ)$ sowie $G^{'} (x) = 0$ für $x \in] a, b [$ . Für beliebige zwei Punkte $x_{0}, x_{1} \in [a, b]$ gilt damit nach dem Hauptsatz der Differentialrechnung

0 \leq | G (x_{1}) - G (x_{0}) | \leq sup_{x \in} a, b [| G^{'} (x) | | x_{2} - x_{1} | = 0 .

Folglich ist die Funktion $G$ konstant.

Der folgende Satz ist eine Modifikation von Satz 4.3.1 und wird als Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung bezeichnet. Er stellt eine grundlegende Beziehung zwischen zwei in ihrem Charakter zunächst völlig verschiedenen Operationen dar: Zum einen der Berechnung eines bestimmten Integrales als Grenzwert einer Summe (oder, wie wir später sehen werden, als Berechnung eines Flächeninhaltes) sowie auf der anderen Seite der Umkehrung der Differentiation durch die Bestimmung der Stammfunktion.

Theorem 4.3.5. Die Funktion $f \in R [a, b]$ besitze eine Stammfunktion $F$ . Dann gilt

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .

Beweis. Es genügt Satz 4.3.1 auf die Funktion $Ḟ (x) = f (x)$ anzuwenden, der Wert von $Ḟ$ in den Randpunkten ist ja nach Anmerkung 4.3.2 für die Berechnung der bestimmten Integrals unbedeutend. □

4.3.2 Die Stammfunktion und der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.