Beweis. Schritt 1: Es sei $\delta ={\left\{t_k\right\}}_{k=0}^m$ eine Zerlegung von $\left[a,b\right]$. Dann gilt nach dem Hauptsatz der Differentialrechnung

und folglich $$\begin{array}{rcll}l\left(A^{\delta }\right)& =& \sum _{k=0}^{m-1}\parallel A_{k+1}-A_k\parallel & \\ & \le & \underset{t\in \left[a,b\right]}{max}\parallel {\phi }^{\prime }\left(t\right)\parallel \sum _{k=0}^{m-1}|t_{k+1}-t_k|& \\ & \le & \underset{t\in \left[a,b\right]}{max}\parallel {\phi }^{\prime }\left(t\right)\parallel |b-a|.& \end{array}$$

Damit besitzt die Menge der Längen aller Polygonzüge $A^{\delta }$ die obere Schranke $l\left(A^{\delta }\right)$. Folglich existiert

Damit ist ${\Gamma }_{\phi }$ rektifizierbar.

Schritt 2: Für eine Zerlegung $\delta$ von $\left[a,b\right]$ betrachten wir die beiden Summen

sowie

Dann folgt nach (2.39) $$\begin{array}{rcll}|S_2^{\delta }-S_1^{\delta }|& \le & \left|\sum _{k=0}^{m-1}\parallel {\phi }^{\prime }\left(t_k\right)\left(t_{k+1}-t_k\right)\parallel -\sum _{k=0}^{m-1}\parallel \phi \left(t_{k+1}\right)-\phi \left(t_k\right)\parallel \right|& \\ & \le & \sum _{k=0}^{m-1}\left|\parallel {\phi }^{\prime }\left(t_k\right)\left(t_{k+1}-t_k\right)\parallel -\parallel \phi \left(t_{k+1}\right)-\phi \left(t_k\right)\parallel \right|& \\ & \le & \sum _{k=0}^{m-1}\parallel {\phi }^{\prime }\left(t_k\right)\left(t_{k+1}-t_k\right)-\phi \left(t_{k+1}\right)+\phi \left(t_k\right)\parallel & \\ & \le & \sum _{k=0}^{m-1}\parallel {\theta }_k\left(t_{k+1}\right)-{\theta }_k\left(t_k\right)\parallel ,& \end{array}$$

wobei

Nach den Voraussetzungen des Satzes sind diese Funktionen stetig differenzierbar auf ${\Delta }_k$. Dabei gilt ${\theta }_k^{\prime }\left(t\right)={\phi }^{\prime }\left(t\right)-{\phi }^{\prime }\left(t_k\right)$ und mir Hilfe des Hauptsatzes der Differentialrechnung erhält man $$\begin{array}{rcll}|S_2^{\delta }-S_1^{\delta }|& \le & \sum _{k=0}^{m-1}\underset{t\in {\Delta }_k}{max}\parallel {\theta }_k^{\prime }\left(t\right)\parallel |t_{k+1}-t_k|& \\ & \le & \sum _{k=0}^{m-1}\underset{t\in {\Delta }_k}{max}\parallel {\phi }^{\prime }\left(t\right)-{\phi }^{\prime }\left(t_k\right)\parallel \Delta t_k.& \end{array}$$

Es seien ${\phi }_j^{\prime }\left(t\right)={\pi }_j\left({\phi }^{\prime }\left(t\right)\right)$ für $j=1,\dots ,n$ die einzelnen Komponenten der Vektorfunktion ${\phi }^{\prime }\left(t\right)$. Dann folgt wegen (2.36)⁹ $$\begin{array}{rcll}\left|S_2^{\delta }-S_1^{\delta }\right|& \le & \sum _{k=0}^{m-1}\underset{t\in {\Delta }_k}{max}\sum _{j=1}^n\left|{\pi }_j\left({\phi }^{\prime }\left(t\right)-{\phi }^{\prime }\left(t_k\right)\right)\right|\Delta t_k& \\ & \le & \sum _{k=0}^{m-1}\sum _{j=1}^n\underset{t\in {\Delta }_k}{max}|{\pi }_j\left({\phi }^{\prime }\left(t\right)\right)-{\pi }_j\left({\phi }^{\prime }\left(t_k\right)\right)|\Delta t_k& \\ & \le & \sum _{j=1}^n\sum _{k=0}^{m-1}\omega \left({\phi }_j^{\prime },{\Delta }_k\right)\Delta t_k.& \end{array}$$

Nach Voraussetzung sind die Komponenten ${\phi }_j\left(t\right)$ stetige Funktionen auf $\left[a,b\right]$. Wie im Beweis von Satz 4.1.6 gezeigt gilt dann

und folglich auch

$$\underset{\lambda \left(\delta \right)\to 0}{lim}\left|S_2^{\delta }-S_1^{\delta }\right|=0.$$

(4.59)

Nach den Voraussetzungen dieses Satzes ist $\parallel {\phi }^{\prime }\left(t\right)\parallel =\left(\parallel \cdot \parallel \circ {\phi }^{\prime }\right)\left(t\right)$ als Komposition stetiger Funktionen selbst stetig und damit nach Satz 4.1.6 integrierbar. Folglich konvergiert die der Wahl der Stützstellen $\xi ={\left\{t_k\right\}}_{k=0}^{m-1}$ zur Zerlegung $\delta ={\left\{t_k\right\}}_{k=0}^m$ entsprechende Riemann-Summe

gegen den Wert des zugehörigen bestimmten Integrals

Zusammen mit (4.59) folgt daraus

$$S:=\underset{\lambda \left(\delta \right)\to 0}{lim}{S}_1^{\delta }={\int \; <!--nolimits-->}_a^b\parallel {\phi }^{\prime }\left(t\right)\parallel dt.$$

(4.60)

Schritt 3: Es bleibt zu zeigen, dass

$$S=\underset{\lambda \left(\delta \right)\to 0}{lim}l\left(A^{\delta }\right)=\underset{\delta }{sup}l\left(A^{\delta }\right)=L\left({\Gamma }_{\phi }\right).$$

(4.61)

Wie im Schritt 1 gezeigt ist ${\Gamma }_{\phi }$ rektifizierbar und $L\left({\Gamma }_{\phi }\right)=\underset{\delta }{sup}l\left(A^{\delta }\right)$ ist endlich. Da dies die kleinste obere Schranke der Werte $L\left(A^{\delta }\right)$ ist, so gibt es zu jedem $\epsilon >0$ eine Zerlegung ${\delta }_{\epsilon }$ von $\left[a,b\right]$ mit der Eigenschaft.

Da sich bei einer Verfeinerung der Zerlegung ${\delta }_{\epsilon }$ die Länge des zugehörigen Polygonzuges nur verlängern kann, so erhält man auch

$$l\left(A^{{\delta }^{\prime }}\right)=S_1^{{\delta }^{\prime }}>L\left({\Gamma }_{\phi }\right)-\epsilon ,{\delta }^{\prime }\supset {\delta }_{\epsilon }.$$

(4.62)

Zum anderen ist die Konvergenz (4.60) gleichbedeutend damit, dass zu jedem $\epsilon >0$ ein ${\Lambda }_{\epsilon }>0$ existiert, so dass

$$\left|S-S_1^{\delta }\right|<\epsilon$$

(4.63)

für alle Zerlegungen $\delta$ mit $\lambda \left(\delta \right)<{\Lambda }_{\epsilon }$. Verfeinert man z.B. ${\delta }_{\epsilon }$ zu $\delta ={\delta }^{\prime }\supset {\delta }_{\epsilon }$ mit $\lambda \left({\delta }^{\prime }\right)<{\Lambda }_{\epsilon }$, so gelten (4.62) und (4.63) gleichzeitig. Daraus folgt

für beliebiges $\epsilon >0$. Also sind diese beiden Grössen gleich. □