4.9.4  Der Tangential- und der Krümmungsvektor.

Es sei ${\Gamma }_{\phi }$ eine durch $\phi \left[a,b\right]\to {ℝ}^n$ erzeugte Jordansche Kurve der Klasse $C^1$ und $r:\left[0,L\left({\Gamma }_{\phi }\right)\right]\to {ℝ}^n$ sei deren kanonische Parametrisierung. Dann bezeichnet

der Tangentialvektor an ${\Gamma }_{\phi }$ im Punkt $r\left(s_0\right)$. Dieser besitzt offensichtlich die konstante Länge $1$.¹⁰

Ist ${\Gamma }_{\phi }$ eine Jordansche Kurve der Klasse $C^2$, so ist die Abbildung $\tau :]0,L\left({\Gamma }_{\phi }\right)[\to {ℝ}^n$ selbst differenzierbar und man kann den sogenannten Krümmungsvektor einführen

Dann gilt immer

Zum Beweis von (4.68) differenziert man die Identität

und erhält sofort $$\begin{array}{rcll}0& =& \frac{d}{ds}\parallel \tau \left(s\right){\parallel }^2=\frac{d}{ds}\sum _{j=1}^n{\left({\pi }_j\left(\tau \left(s\right)\right)\right)}^2& \\ & =& \sum _{j=1}^{n}2{\pi }_j\left(\tau \left(s\right)\right)\frac{d}{ds}{\pi }_j\left(\tau \left(s\right)\right)=\sum _{j=1}^{n}2{\pi }_j\left(\tau \left(s\right)\right){\pi }_j\left({\tau }_s^{\prime }\left(s\right)\right)& \\ & =& 2⟨\tau \left(s\right),{\tau }_s^{\prime }\left(s\right)⟩=2⟨\tau \left(s\right),\kappa \left(s\right)⟩.& \end{array}$$

Also verschwindet das Skalarprodukt $⟨\tau \left(s\right),\kappa \left(s\right)⟩$ und folglich stehen diese Vektoren orthogonal zueinander.

Die Grösse $K\left(s\right)=\parallel \kappa \left(s\right)\parallel$ nennt man die Krümmung einer Kurve im Punkt $r\left(s\right)$ und $\rho \left(s\right)=1∕K\left(s\right)$ bezeichnet den Krümmungsradius in diesem Punkt.