Beweis. Die Funktion $f$ ist monoton und durch $f\left(a\right)$ und $f\left(b\right)$ von unten bzw. oben beschränkt. Nach Satz 2.10.20 sowie Aufgabe 2.10.21 existieren dann die Grenzwerte $f\left(x\pm 0\right)$ für alle $x\in ]a,b[$ sowie am Rand die Grenzwerte $f\left(a+0\right)$ und $f\left(b-0\right)$.

Es sei nun $f\left(x-0\right)\ne f\left(x+0\right)$. Man betrachte zwei beliebige Zahlen $x^{\prime },x^{\prime \prime }\in \left[a,b\right]$ mit $x^{\prime }<x<x^{\prime \prime }$ sowie Folgen ${\left\{x_k^{\prime }\right\}}_{k=1}^{\infty }$ mit $a<x_k^{\prime }<x$ und $x_k^{\prime }\to x$ als auch ${\left\{x_k^{\prime \prime }\right\}}_{k=1}^{\infty }$ mit $b>x_k^{\prime \prime }>x$ und $x_k^{\prime \prime }\to x$. Dann gilt $x^{\prime }<x_{k_1}^{\prime }<x$ und $x<x_{k_2}^{\prime \prime }<x^{\prime \prime }$ für alle genügend grosse $k_1,k_2\ge N$, und damit auch

$$f\left(x^{\prime }\right)\le f\left(x_{k_1}^{\prime }\right)\le f\left(x\right)\le f\left(x_{k_2}^{\prime \prime }\right)\le f\left(x^{\prime \prime }\right),k_1,k_2\ge N.$$

(2.77)

Geht man hier zum Grenzwert $k_1\to \infty$ und danach zu $k_2\to \infty$über, so erhält man wegen $f\left(x-0\right)\ne f\left(x+0\right)$

Damit nimmt $f$ keine Funktionswerte in $]f\left(x-0\right),f\left(x+0\right)[\backslash \left\{f\left(x\right)\right\}\ne \varnothing$ an, was der Voraussetzung des Satzes widerspricht, also gilt $f\left(x-0\right)=f\left(x+0\right)$. Aus (2.77) folgt aber im Grenzübergang ebenso

und damit $f\left(x\right)=f\left(x\pm 0\right)$. Die Stetigkeit in den Endpunkten des Intervalls erhält man auf analogem Weg. □

Beweis. Wir wenden Satz 2.12.27 auf die Funktion $f^{-1}$ an. Diese ist zusammen mit $f$ monoton und nimmt alle Werte des Intervalls $\left[a,b\right]$ an. □