Wichtige Beispiele stetiger Funktionen.

Example 2.12.9. Die Funktion $f : ℂ \to ℂ$ , $f (z) = z$ ist stetig in $ℂ$ , wie sofort aus Definition 2.12.1 folgt. Nach Satz 2.12.7 ist dann auch jedes Polynom $P_{n} (z)$ stetig in $ℂ$ .

Example 2.12.10. Die Funktion $f : ℂ \to ℂ$ , $f (z) = \bar{z}$ ist stetig in $ℂ$ . Nach Satz 2.12.7 und Beispiel 2.12.9 ist dann auch $| z |^{2} = z \bar{z}$ ist stetig in $ℂ$ .

Example 2.12.11. Die Norm $∥ \cdot ∥ : K^{n} \to ℝ$ auf $K^{n}$ ist nach der Ungleichung

| ∥ x ∥ - ∥ y ∥ | \leq ∥ x - y ∥, x, y \in K^{n},

(siehe Aufgabe 2.8.7) eine stetige Funktion in $K^{n}$ .

Beweis. Wir zeigen die Stetigkeit von $f (z) = e^{z}$ in einem beliebigen Punkt $z_{0} \in ℂ$ , d.h. $lim_{z \to z_{0}} e^{z} = e^{z_{0}}$ . Es gilt

| e^{z} - e^{z_{0}} | = | e^{z_{0}} (e^{z} e^{- z_{0}} - 1) | = | e^{z_{0}} | | e^{z - z_{0}} - 1 | .

Erfüllt $ξ = z - z_{0}$ die Ungleichung $| ξ | < 1$ , so gilt nach (2.63) und der Dreiecksungleichung

| e^{z} - e^{z_{0}} | \leq | e^{z_{0}} | | e^{ξ} - 1 - ξ + ξ | \leq | e^{z_{0}} | (| ξ |^{2} + | ξ |) .

Für $z \to z_{0}$ , d.h. $ξ \to 0$ folgt $| e^{z} - e^{z_{0}} | \to 0$ und damit $e^{z} \to e^{z_{0}}$ . □

Corollary 2.12.13. Nach den Sätzen 2.12.5 und 2.12.7 sind $e^{i z}$ , $e^{- i z}$ und damit auch die Funktionen $sin (z)$ und $cos (z)$ stetig in $ℂ$ .

2.12.4 Wichtige Beispiele stetiger Funktionen.