Die Eigenschaften der Exponentialfunktion - Das Verhalten nahe z = 0.

Beweis. Nach Dreiecksungleichung und $| z^{k} | = | z |^{k}$ gilt

| t_{n} (z) - 1 - z | = |\sum_{k = 2}^{n} \frac{z^{k}}{k!}| \leq | z |^{2} \sum_{k = 2}^{n} \frac{| z |^{k - 2}}{k!} .

Für $| z | < 1$ folgt

| t_{n} (z) - 1 - z | \leq | z |^{2} \sum_{k = 2}^{n} \frac{1}{k!} < | z |^{2} (e - 2) .

(2.64)

Die Konvergenz von $t_{n} (z)$ nach $exp (z)$ impliziert

| t_{n} (z) - 1 - z | \to | exp (z) - 1 - z | .

Der Grenzübergang in (2.64) gibt dann

| exp (z) - 1 - z | \leq | z |^{2} (e - 2) \leq | z |^{2},

da zudem nach Satz 2.4.3 mit $n = 2$ die Abschätzung $e < 3$ gilt. □