Grundlegende Definitionen.

2.12.1 Grundlegende Definitionen.

Es seien $(M_{1}, d_{1})$ und $(M_{2}, d_{2})$ metrische Räume sowie $X \subset M_{1}$ . Wir betrachten eine Funktion $f : X \to M_{2}$ .

Definition 2.12.1. Eine Funktion $f$ heisst stetig im Punkt $x_{0} \in X$ , genau dann wenn $x_{0} \in iso (X)$ oder

f (x_{0}) = lim_{x \to x_{0}} f (x), x_{0} \in acc (X) .

Die Funktion $f$ heisst stetig in $X$ genau dann wenn $f$ in jedem Punkt $x_{0} \in X$ stetig ist.

Es gibt folgende äquivalente Definition der Stetigkeit:

Definition 2.12.2. Eine Funktion $f$ heisst stetig im Punkt $x_{0} \in X$ , genau dann wenn folgende Aussage wahr ist:

\forall_{ε > 0} \exists_{δ > 0} \forall_{x \in U_{δ} (x_{0}) \cap X} f (x) \in U_{ε} (f (x_{0})) .

Stetigkeit bedeutet damit, dass sich der Funktionswert bei einer kleinen Verschiebung des Argumentes selbst nur wenig ändert.

Problem 2.12.3. Beweisen Sie die Äquivalenz der Definitionen 2.12.1 und 2.12.2!

Problem 2.12.4. Zeigen Sie, dass eine Funktion $f : M_{1} \to M_{2}$ genau dann stetig in $M_{1}$ ist, wenn das Urbild $X = f^{- 1} (Y)$ jeder in $M_{2}$ offenen Menge $Y \subset M_{2}$ in $M_{1}$ offen ist.

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