Konvergenz in Kn und Konvergenz der Komponenten.

2.8.3 Konvergenz in $K^{n}$ und Konvergenz der Komponenten.

Um im weiteren klar zwischen dem $k$ -ten Folgenglied einer Vektorfolge und der $j$ -ten Komponente eines Vektors zu unterscheiden, werden wir Folgenglieder überwiegend mit lateinischen Buchstaben und die Komponenten eines Vektors mit griechischen Buchstaben bezeichnen. Es sei also

x = (ξ_{1}, \dots, ξ_{j}, \dots, ξ_{n}) \in K^{n}, ξ_{j} \in K für j = 1, \dots n .

Dann bezeichne $π_{j} : K^{n} \to K$ die Projektion auf die $j$ -te Komponente, d.h.

π_{j} (x) = ξ_{j}, j = 1, \dots n .

Führt man die orthonormierten¹² Basisvektoren

e_{j} = (0, \dots, 0, 1, 0, \dots, 0) \in K^{n}, j = 1, \dots, n

ein, wobei alle Komponenten von $e_{j}$ verschwinden bis auf die $j$ -te, welche gleich $1$ ist, so gilt

x = \sum_{j = 1}^{n} π_{j} (x) \cdot e_{j} .

Aus der Dreiecksungleichung erhält man sofort

∥ x ∥ \leq \sum_{j = 1}^{n} ∥ π_{j} (x) e_{j} ∥ = \sum_{j = 1}^{n} | π_{j} (x) | .

(2.36)

Umgekehrt gilt natürlich nach der Definition (2.26) bzw. (2.30) in $K^{n}$

| π_{j} (x) | \leq ∥ x ∥, j = 1, \dots, n .

(2.37)

Offensichtlich sind Projektoren lineare Abbildungen, d.h.

π_{j} (α^{'} \cdot x^{'} + α^{″} \cdot x^{″}) = α^{'} π_{j} (x^{'}) + α^{″} π_{j} (x^{″}), j = 1, \dots, n,

für beliebige $x^{'}, x^{″} \in K^{n}$ und $α^{'}, α^{″} \in K$ .

Theorem 2.8.5. Es sei ${x_{k}}_{k \in ℕ}$ eine Folge von Gliedern $x_{k} \in K^{n}$ . Dann gilt

\exists_{y \in K^{n}} y = lim_{k \to \infty} x_{k} \Leftrightarrow \forall_{j = 1, \dots n} \exists_{η_{j} \in K} η_{j} = lim_{k \to \infty} π_{j} (x_{k}) .

Im Fall der Konvergenz gilt zudem die Gleichheit

η_{j} = lim_{k \to \infty} π_{j} (x_{k}) = π_{j} y = π_{j} lim_{k \to \infty} x_{k}, j = 1, \dots, n .

Mit anderen Worten: Eine Folge von Vektoren konvergiert genau dann, wenn alle Folgen der Komponenten konvergieren. Der Grenzwert der Vektorenfolge ergibt sich dabei als Vektor der Grenzwerte der Komponentenfolgen.

Beweis. Konvergiert ${x_{k}}_{k \in ℕ}$ gegen $y$ so gilt nach (2.37)

| π_{j} (x_{k}) - π_{j} (y) | = | π_{j} (x_{k} - y) | \leq ∥ x_{k} - y ∥ < ε

für $k \geq N_{ε}$ , d.h. $π_{j} (x_{k}) \to π_{j} (y)$ in $(K, d_{| \cdot |})$ für alle $j = 1, \dots, n$ wenn $k \to \infty$ . Umgekehrt, falls $π_{j} (x_{k}) \to π_{j} (y)$ für alle $j = 1, \dots, n$ so gilt nach (2.36) auch

∥ x_{k} - y ∥ \leq \sum_{j = 1}^{n} | π_{j} (x_{k} - y) | = \sum_{j = 1}^{n} | π_{j} (x_{k}) - π_{j} (y) | < ε

für genügend grosses $k \geq max {N_{ε ∕ n}^{j = 1}, \dots, N_{ε ∕ n}^{j = n}}$ , und damit $x_{k} \to y$ in $(K^{n}, d_{∥ \cdot ∥})$ . □

Analog beweist man auch folgenden Satz:

Theorem 2.8.6. Es sei ${x_{k}}_{k \in ℕ}$ eine Folge von Gliedern $x_{k} \in K^{n}$ . Dann gilt

{x_{k}}_{k \in ℕ} \in C F (K^{n}, d_{∥ \cdot ∥}) \Leftrightarrow \forall_{j = 1, \dots, n} {π_{j} (x_{k})}_{_{k \in ℕ}} \in C F (K, d_{| \cdot |}) .

(2.38)

Problem 2.8.7. Es sei $∥ \cdot ∥$ die Norm auf $K^{n}$ . Beweisen Sie ausgehend von (2.25) zunächst die Ungleichung

| ∥ x ∥ - ∥ y ∥ | \leq ∥ x - y ∥, x, y \in K^{n} .

(2.39)

Problem 2.8.8. Es sei ${x_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ eine Folge in $K^{n}$ und $y = lim_{k \to \infty} x_{k}$ . Zeigen Sie, dass dann auch $∥ y ∥ = lim_{k \to \infty} ∥ x_{k} ∥$ gilt!

Problem 2.8.9. Beweisen Sie, dass eine Folge ${x_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ von Elementen aus $K^{n}$ genau dann in $K^{n}$ gegen $0$ konvergiert, wenn die Folge ${∥ x_{k} ∥}_{k = 1}^{\infty}$ in $ℝ$ gegen $0$ konvergiert!

¹²Es gilt $∥ e_{j} ∥ = 1$ für $j = 1, \dots n$ sowie $<e_{j}, e_{k}> = 0$ für $j \neq k$ .

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2.8.3 Konvergenz in Kn und Konvergenz der Komponenten.

2.8.3 Konvergenz in $K^{n}$ und Konvergenz der Komponenten.