Stetige Funktionen mit Werten in Kn.

Wir betrachten nun den Fall

(M_{2}, d_{2}) = (K^{n}, d_{∥ \cdot ∥})

. Weiterhin sei

(M_{1}, d_{1})

ein metrischer Raum sowie

X \subset M_{1}

Theorem 2.12.7. Die Funktionen $f, g : X \to K^{n}$ seien stetig im Punkt $x_{0} \in X$ wobei $K \in {ℝ, ℂ}$ . Ebenso sei $α : X \to K$ stetig im Punkt $x_{0}$ . Dann sind die Funktionen $f + g$ , $α f$ sowie $<f, g>$ ebenfalls stetig in $x_{0}$ . Gilt zudem $α (x) \neq 0$ für $x \in X$ , so ist ${(α (x))}^{- 1}$ stetig in $x_{0}$ . Schliesslich sei $X_{0} \subset X$ und $x_{0} \in X_{0}$ . Dann ist $f |_{X_{0}}$ stetig in $x_{0}$ .

Problem 2.12.8. Dieser Satz folgt direkt aus der entsprechenden Aussage zu Grenzwerten von Vektorfunktionen. Führen Sie den Beweis!

2.12.3 Stetige Funktionen mit Werten in Kn.

2.12.3 Stetige Funktionen mit Werten in $K^{n}$ .