Klassifikation der Unstetigkeiten von Funktionen einer reellen Variablen

Im weiteren sei

(M_{1}, d_{1}) = (ℝ, d_{| \cdot |})

X \subset ℝ

und

x_{0} \in acc (X)

. Die Funktion

f

nimmt Werte in

M_{2}

an, wobei

(M_{2}, d_{2})

ein metrischen Raum ist. Mit

f (x_{0} \pm 0)

bezeichnen wir den rechts- bzw. linksseitigen Grenzwert

lim_{x \to x_{0} \pm 0} f (x)

, falls dieser existiert.

Die Funktion

f

besitzt im Punkt

x_{0}

eine behebbare Unstetigkeit, falls beide Grenzwerte

f (x_{0} \pm 0)

existieren und gleich sind

und ausserdem

x_{0}

nicht zum Definitionsbereich von

f

gehört, d.h.

x_{0} \notin X

. In diesem Fall kann die Funktion

f

wie folgt zu einer in

x_{0}

stetigen Funktion erweitert werden

Manchmal benutzt man den Begriff der behebbaren Unstetigkeit auch dann, wenn

x_{0} \in X

aber

f (x_{0}) \neq f (x_{0} \pm 0)

. Dann kann man durch Umdefinieren der Funktion im Punkt

x_{0}

, d.h. durch Zuweisung eines korrigierten Funktionswertes an diesem Punkt eine in

x_{0}

stetige Funktion erhalten.

so spricht man von einer Unstetigkeit der ersten Art. Die Funktion

f

besitzt dann am Punkt

x_{0}

einen Sprung. Diese Unstetigkeit kann durch Neu- bzw. Umdefinition von

f

im Punkt

x_{0}

nicht behoben werden.

Existiert mindestens einer der Grenzwerte

lim_{x \to x_{0}} f (x)

nicht, so spricht man von einer Unstetigkeit der zweiten Art. Diese ist ebenfalls nicht behebbar.

Man sieht leicht, dass sie Fallunterscheidung nach Existenz und Wert von

f (x_{0} \pm 0)

vollständig ist; jede Unstetigkeit einer Funktion einer reellen Veränderlichen gehört genau einer dieser drei Klassen an.

Example 2.12.14. Es sei $X = ℝ$ und $f (x) = sgn x$ , d.h. $f (x) = - 1$ für $x < 0$ , $f (0) = 0$ und $f (x) = 1$ für $x > 0$ . Diese Funktion besitzt im Punkt $x_{0}$ einen Sprung, d.h. eine Unstetigkeit erster Art.

Example 2.12.15. Es sei $X = ℝ \ {0}$ und $f (x) = sin x^{- 1}$ . Dann ist $x_{0}$ eine Unstetigkeitsstelle der zweiten Art, da die Grenzwerte $lim_{x \to 0 \pm 0} sin x^{- 1}$ nicht existieren.

Example 2.12.16. Es sei $X = ℝ \ {0}$ und $f (x) = x sin x^{- 1}$ . Dann gilt $f (0 \pm 0) = 0$ und die Unstetigkeit in $x_{0}$ ist durch $f (0) = 0$ behebbar.

Problem 2.12.17. Zeigen Sie, dass die Funktion $f : ℝ \to ℝ$ gegeben durch

f (x) = 1 für x \in ℚ, f (x) = 0 für x \in ℝ \ ℚ,

in jedem Punkt $x \in ℝ$ eine Unstetigkeit der zweiten Art besitzt.

Problem 2.12.18. Es sei $g : ℝ \ {0} \to ℝ$ die Funktion

g (x) = 0 für x \in ℝ \ ℚ, g (x) = n^{- 1} für x = \frac{m}{n} \in ℚ \ {0} .

Hierbei ist $x = m n^{- 1}$ , $m \in ℤ$ , $n \in ℕ$ die teilerfremde Darstellung der rationalen Zahl $x \neq 0$ , d.h. $ggT (m, n) = 1$ . Zeigen Sie, dass $g$ in allen Punkten $ℝ \ ℚ$ stetig ist und in allen Punkten $Q \ {0}$ unstetig ist. Bestimmen Sie die Art der Unstetigkeit! Kann man die Funktion $g$ im Punkt $x = 0$ so definieren, dass $g$ im Punkt $x = 0$ stetig wird?

Definition 2.12.19. Wir betrachten eine Funktion $f : [a, b] \to M_{2}$ , $a < b$ , wobei $(M_{2}, d_{2})$ ein metrischer Raum ist. Es sei $x_{0}$ ein Punkt aus dem Inneren von $[a, b]$ . Dann heisst $f$ rechtseitig stetig in $x_{0}$ genau dann wenn $f (x_{0}) = f (x_{0} + 0)$ bzw. linksseitig stetig in $x_{0}$ genau dann wenn $f (x_{0}) = f (x_{0} - 0)$ .

2.12.5 Klassifikation der Unstetigkeiten von Funktionen einer reellen Variablen