Kompositionen stetiger Funktionen.

Theorem 2.12.5. Es seien $(M_{1}, d_{1})$ , $(M_{2}, d_{2})$ , $(M_{3}, d_{3})$ metrische Räume; $X \subset M_{1}$ und $Y \subset M_{2}$ sowie $x_{0} \in X$ und $y_{0} \in Y$ . Die Funktion $f : X \to Y$ sei stetig in $x_{0}$ und $y_{0} = f (x_{0})$ , die Funktion $g : Y \to M_{3}$ sei stetig in $Y$ . Dann ist $(g \circ f) (x) = g (f (x))$ stetig in $x_{0}$ als Funktion von $X$ nach $M_{3}$ .

Beweis. Ist $x_{0} \in iso (X)$ , so ist $g \circ f$ automatisch in $x_{0}$ stetig. Wir betrachten deshalb den Fall $x_{0} \in acc (X) \cap X$ . Es sei ${x_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ eine beliebige Folge von Gliedern $x_{k} \in X$ mit der Eigenschaft $x_{k} \to x_{0}$ für $k \to \infty$ . Aufgrund von Definition 2.12.1 und der Folgendefinition der Konvergenz impliziert die Stetigkeit von $f$ in $x_{0}$ , dass $y_{k} = f (x_{k}) \to f (x_{0}) = y_{0}$ . Ist $y_{0} \in iso (Y)$ so bedeutet dies $y_{k} = y_{0}$ für alle genügend grosse $k$ und damit $(g \circ f) (x_{k}) = g (y_{0}) = z_{0}$ für grosse $k$ . Gilt $y_{0} \in acc (Y) \cap Y$ , so folgt aus der Stetigkeit von $g$ in $y_{0}$ die Konvergenz $z_{k} = (g \circ f) (x_{k}) = g (y_{k}) \to g (y_{0}) = z_{0}$ . Wiederum nach der Folgendefinition bedeutet letzteres $lim_{x \to x_{0}} (g \circ f) (x) = (g \circ f) (x_{0})$ , d.h. $g \circ f$ ist in $x_{0}$ stetig. □

2.12.2 Kompositionen stetiger Funktionen.