Ein analytischer Beweis des Hauptsatzes der Algebra

Wir beweisen hier den im Punkt 1.12.1 formulierten Hauptsatz der Algebra:

Theorem. Jedes Polynom vom Grad $n \geq 1$ über dem Körper $K = ℂ$ der komplexen Zahlen besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.

Es sei

f (x) = a_{n} x^{n} + \dots + a_{1} x + a_{0}, x \in ℂ, a_{k} \in ℂ, a_{n} \neq 0, n \geq 1 .

Wir müssen die Existenz eines Punktes $x_{0} \in ℂ$ nachweisen, für welchen $f (x_{0}) = 0$ gilt. Dazu benötigen wir die folgenden zwei Hilfssätze.

Lemma 4.11.1.

\forall_{M > 0} \exists_{N > 0} \forall_{x \in ℂ, | x | > N} | f (x) | \geq M .

Lemma 4.11.2.

\forall_{x^{*} \in ℂ, f (x^{*}) \neq 0} \exists_{h \in ℂ} | f (x^{*} + h) | < | f (x^{*}) | .