Der Beweis von Lemma 4.11.1.

4.11.2 Der Beweis von Lemma 4.11.1.

Infolge der Ungleichung

| u + v | \geq | u | - | v |

gilt

| f (x) | \geq S (x) - T (x), x \in ℂ,

mit $\begin{array}{rcl} S (x) & = & | a_{n} x^{n} | = | a_{n} | | x |^{n}, \\ T (x) & = & | a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{0} | . \end{array}$

Setzt man $A = max_{k = 0, \dots, n - 1} | a_{k} |$ , so folgt

T (x) \leq A (| x |^{n - 1} + \dots + x + 1), x \in ℂ .

Insbesondere gilt für $| x | \geq 1$

T (x) \leq n A | x |^{n - 1}, x \in ℂ, | x | \geq 1,

und damit $\begin{array}{rcl} S (x) - T (x) & \geq & | a_{n} | | x |^{n} - n A | x |^{n - 1} \\ \geq & | x |^{n - 1} (| a_{n} | | x | - n A), x \in ℂ, | x | \geq 1 . \end{array}$

Für gegebenes $M > 0$ setzen wir nun

N : = max \{1, \frac{M + n \cdot A}{| a_{n} |}\} .

Damit gilt für $| x | \geq N$ sowohl $| x |^{n - 1} \geq 1$ als auch $| a_{n} | | x | - n A \geq M$ und damit

| f (x) | \geq S (x) - T (x) \geq M, x \in ℂ, | x | \geq N .

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