Der Beweis von Lemma 4.11.2.

4.11.3 Der Beweis von Lemma 4.11.2.

Zerlegt man das Polynom $f$ vom Grad $deg (f) = n$ im Punkt $x^{*}$ in eine Taylorreihe, so erhält man

f (x^{*} + h) = f (x^{*}) + f^{'} (x^{*}) h + \dots + f^{(n)} (x^{*}) \frac{h^{n}}{h!} .

(4.86)

Tatschlich, da die Ableitung $f^{(n + 1)}$ verschwindet, so ist nach (4.44) der Restterm $r_{n} (x^{*}; h) = 0$ . Da $a_{n} = {(n!)}^{- 1} f^{(n)} (x) \neq 0$ für alle $x \in ℂ$ , so gibt es ein $k \in {1, \dots, n}$ mit der Eigenschaft

f^{'} (x^{*}) = \dots = f^{(k - 1)} (x^{*}) = 0 \land f^{(k)} (x^{*}) \neq 0 .

(4.87)

Da $f (x^{*}) \neq 0$ , so kann man die Gleichung (4.86) durch diese Grösse dividieren und erhält wegen (4.87)

\frac{f (x^{*} + h)}{f (x^{*})} = 1 + c_{k} h^{k} + \dots + c_{n} h^{n} mit c_{j} = \frac{f^{(j)} (x^{*})}{f (x^{*}) \cdot j!}

für $j \in {k, k + 1, \dots, n}$ . Insbesondere gilt nach Konstruktion $c_{k} \neq 0$ . Dann können wir schreiben

\frac{f (x^{*} + h)}{f (x^{*})} = (1 + c_{k} h^{k}) + c_{k} h^{k} R (h),

wobei

R (h) = \frac{c_{k + 1}}{c_{k}} h + \dots + \frac{c_{n}}{c_{k}} h^{n - k} .

Das Polynom $R (h)$ ist stetig und verschwindet im Punkt $h = 0$ . Damit existiert insbesondere ein Wert $δ_{1} > 0$ , so dass $| R (h) | < \frac{1}{2}$ für alle $h \in ℂ$ mit $| h | < δ_{1}$ . Daraus folgt

|\frac{f (x^{*} + h)}{f (x^{*})}| \leq | 1 + c_{k} h^{k} | + \frac{1}{2} | c_{k} h^{k} |, | h | < δ_{1} .

(4.88)

Wir wählen nun eine komplexe Zahl $h$ mit

0 < | h | < min {δ_{1}, | c_{k} |^{- 1 ∕ k}} und arg h = \frac{π - arg c_{k}}{k} .

Dann folgt

arg (c_{k} h^{k}) = arg (c_{k}) + k arg (h) = π

und damit

c_{k} h^{k} = | c_{k} h^{k} | e^{i arg (c_{k} h^{k})} = | c_{k} h^{k} | e^{i π} = - | c_{k} h^{k} |

sowie wegen $| c_{k} h^{k} | = | c_{k} | | h |^{k} < 1$ auch

| 1 + c_{k} h^{k} | = | 1 - | c_{k} h^{k} | | = 1 - | c_{k} h^{k} | .

Setzt man dies in (4.88) ein, so erhält man schliesslich

|\frac{f (x^{*} + h)}{f (x^{*})}| \leq 1 - | c_{k} h^{k} | + \frac{1}{2} | c_{k} h^{k} | = 1 - \frac{1}{2} | c_{k} h^{k} | < 1

und somit $| f (x^{*} + h) | < | f (x^{*}) |$ .

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