Polynome und der Hauptsatz der Algebra.

1.12.1 Polynome und der Hauptsatz der Algebra.

Ein Polynom über einem Körper $K$ ist eine Funktion $P : K \to K$ gegeben durch

P (z) = a_{n} z^{n} + a_{n - 1} z^{n - 1} + \dots + a_{1} z + a_{0}, a_{k} \in K, z \in K, n \in ℕ \cup {0} .

Ist $a_{n} \neq 0$ so ist $P$ vom Grad $n$ , was wir durch $deg (P) = n$ bezeichnen.

Eine algebraische Gleichung ist eine Gleichung vom Typ

P (z) = 0, z \in K .

Lösungen dieser Gleichungen heißen Nullstellen von $P .$ Polynome über dem Körper $K = ℝ$ besitzen nicht notwendigerweise reelle Nullstellen, wie man leicht an der Gleichung $x^{2} + 1 = 0$ , $x \in ℝ$ verifiziert. Der folgende Satz von Gauss, auch als Hauptsatz der Algebra bekannt, gibt eine der grundsätzlichsten Motivationen zur Einführung der komplexen Zahlen:

Theorem 1.12.1. Jedes Polynom vom Grad $n \geq 1$ über dem Körper $K = ℂ$ der komplexen Zahlen besitzt mindestens eine komplexe Nullstelle.

Der Beweis dieses Satzes wird später im Verlauf der Vorlesung geführt.

Algebraische Zahlen sind komplexe Nullstellen algebraischer Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten $a_{k} \in ℤ$ . Die Menge der algebraischen Zahlen besitzt die Mächtigkeit $ℵ_{0}$ . Transzendente Zahlen sind reelle Zahlen, welche keine algebraische Zahlen sind.¹³ Die transzendenten Zahlen besitzen die Mächtigkeit $ℵ_{1}$ .

¹³Beispiele für transzendente Zahlen sind $e$ und $π$ .

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