Der Beweis des Hauptsatzes der Algebra.

4.11.1 Der Beweis des Hauptsatzes der Algebra.

Bevor wir uns unten den Beweisen der Lemmata 4.11.1 und 4.11.2 zuwenden, verifizieren wir mit deren Hilfe zunächst den Hauptsatz der Algebra.

Wir führen diesen Nachweis indirekt. Angenommen es gilt $f (x) \neq 0$ für alle $x \in ℂ$ . Dann gilt insbesondere $a_{0} = f (0) \neq 0 .$ Wir wählen $M = 2 | a_{0} | > 0$ . Nach Lemma 4.11.1 existiert ein $N > 0$ , so dass

| f (x) | \geq M = 2 | a_{0} | > | a_{0} | für  alle | x | > N .

(4.83)

Wir betrachten nun die abgeschlossene Kugel $B_{N} = {x \in ℂ | | x | \leq N}$ . Dies ist eine kompakte Teilmenge von $ℂ$ . Da $f (x)$ und damit auch $| f (x) |$ stetige Funktionen sind, so gibt es nach dem Satz von Weierstrass einen Punkt $x_{m} \in B_{N}$ , so dass

| f (x_{m}) | = min_{x \in B_{N}} | f (x) | .

(4.84)

Dabei gilt

| f (x_{m}) | \leq | a_{0} | = \frac{M}{2} < M .

Entsprechend unserer Gegenannahme gilt $f (x_{m}) \neq 0$ . Dann existiert nach Lemma 4.11.2 mit $x^{*} = x_{m}$ ein $h \in ℂ$ , so dass

| f (x_{m} + h) | < | f (x_{m}) | < M .

(4.85)

Damit muss nach (4.83) der Punkt $x_{m} + h$ zur Menge $B_{N}$ gehren. Dann steht (4.85) aber im Widerspruch zu (4.84). Damit ist die Gegenannahme falsch, womit der Hauptsatz der Algebra bewiesen ist.

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