Zur Integration rationaler Funktionen

4.4 Zur Integration rationaler Funktionen

In diesem Kapitel bestimmen wir die Stammfunktion für rationale Funktionen

R (x) = \frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} = \frac{a_{m} x^{m} + \dots + a_{1} x + a_{0}}{b_{n} x^{n} + \dots + b_{1} x + b_{0}} .

(4.21)

Dabei seien $a_{k}$ für $k = 0, \dots, m$ und $b_{l}$ für $l = 0, \dots, n$ komplexe Koeffizienten, ausserdem sei $a_{m} \neq 0$ und $b_{n} \neq 0$ .

Im Spezialfall $Q_{n} \equiv 1$ führt das gestellte Problem zur Integration des Polynomes $P_{m}$ , welche offensichtlich durch

\int P_{m} (x) d x = {(m + 1)}^{- 1} a_{m} x^{m + 1} + m^{- 1} a_{m - 1} x^{m} + \dots + a_{0} x + C

(4.22)

gelöst wird. Die Verifikation dieser Formel erfolgt durch Differentiation.

Für den Spezialfall $P_{n} \equiv 1$ kann man ebenfalls durch Differentiation sofort folgende zwei Formen für unbestimmte Integrale bestätigen $\begin{array}{rcl} \int \frac{d x}{{(x - a)}^{n}} & = & \frac{{(x - a)}^{1 - n}}{1 - n} + C, n \in ℕ, n \neq 1, & (4.23) \\ \int \frac{d x}{x - a} & = & ln | x - a | + C . & (4.24) \end{array}$

Wir werden nun schrittweise die Bestimmung der Stammfunktion einer allgemeinen rationalen Funktion (4.21) auf die unbestimmten Integrale (4.22) - (4.24) zurückführen.

  4.4.1  Die Division von Polynomen mit Rest.
  4.4.2  Schriftliches Dividieren von Polynomen.
  4.4.3  Die Zerlegung des Restterms.
  4.4.4  Zur Berechnung der Koeffizienten

A_{j k}

.
4.4.5 Die Formel von Ostrogradskij.

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