Die Formel von Ostrogradskij.

4.4.5 Die Formel von Ostrogradskij.

Aus $\begin{array}{rcl} \frac{T_{l} (x)}{Q_{n} (x)} & = & \sum_{j = 1}^{N} \sum_{r = 1}^{k_{j}} \frac{A_{j r}}{{(x - a_{j})}^{r}} \\ = & \sum_{j = 1}^{N} \frac{A_{j 1}}{(x - a_{j})} + \sum_{j = 1}^{N} \sum_{r = 2}^{k_{j}} \frac{A_{j r}}{{(x - a_{j})}^{r}} & (4.27) \end{array}$

folgt

\int \frac{T_{l} (x)}{Q_{n} (x)} d x = \sum_{j = 1}^{N} A_{j 1} ln | x - a_{j} | + \sum_{j = 1}^{N} \sum_{r = 2}^{k_{j}} \frac{A_{j r}}{(1 - r) {(x - a_{j})}^{r - 1}} .

(4.28)

Die zweite Summe auf der rechten Seite von (4.28) ist eine rationale Funktion. Für einen gegebenen Nenner

Q_{n} (x) = b_{n} {(x - a_{1})}^{k_{1}} \dots {(x - a_{N})}^{k_{N}}

setzen wir nun $\begin{array}{rcl} {\tilde{Q}}_{N} (x) & = & b_{n} (x - a_{1}) \dots (x - a_{N}), \\ {\hat{Q}}_{n - N} (x) & = & {(x - a_{1})}^{k_{1} - 1} \dots {(x - a_{N})}^{k_{N} - 1} . \end{array}$

Dann folgt aus (4.27) und (4.28) die Darstellung

\int \frac{T_{l} (x)}{Q_{n} (x)} d x = \int \frac{{\tilde{T}}_{r} (x)}{{\tilde{Q}}_{N} (x)} d x + \frac{{\hat{T}}_{q} (x)}{{\hat{Q}}_{n - N} (x)}

(4.29)

mit geeigneten Polynomen ${\tilde{T}}_{r} (x)$ und ${\hat{T}}_{q} (x)$ , wobei

deg ({\tilde{T}}_{r}) = r \leq N - 1, deg ({\hat{T}}_{q}) = q \leq n - N - 1 .

Nach Differentiation erhält man

\frac{T_{l} (x)}{Q_{n} (x)} = \frac{{\tilde{T}}_{r} (x)}{{\tilde{Q}}_{N} (x)} + {(\frac{{\hat{T}}_{q} (x)}{{\hat{Q}}_{n - N} (x)})}^{'} .

(4.30)

Die Polynome ${\tilde{T}}_{r} (x)$ und ${\hat{T}}_{q} (x)$ erhält man aus (4.30) durch Koeffizientenvergleich.

Die Darstellungen (4.29) und (4.30) nennt man die Formel von Ostrogradskij. Diese spielt besonders bei der Integration von rationalen Funktionen mit Nennern mit Nullstellen höherer Ordnung eine Rolle. Dabei ist in der Anwendung besonders wichtig, dass ${\hat{Q}}_{n - N} (x)$ der grösste gemeinsame polynomiale Teiler von ${\hat{Q}}_{N} (x)$ und ${\hat{Q}}_{N}^{'} (x)$ ist. Als solcher kann ${\hat{Q}}_{n - N} (x)$ (und damit auch ${\hat{Q}}_{N} (x)$ ) mit dem Eulerschen Verfahren bestimmt werden, ohne dass vorher die Nullstellen von $Q_{n} (x)$ berechnet werden müssen!

Für deren Anwendung ist es insbesondere interessant, dass die Polynome ${\hat{Q}}_{N} (x)$ und ${\hat{Q}}_{n - N} (x)$ angegeben werden können, ohne dass man die explizite Nullstellenzerlegung von $Q_{n} (x)$ kennen muss. Für Einzelheiten verweisen wir auf Fichtenholz Bd. 2, Punkt 276.

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