Die Division von Polynomen mit Rest.

Theorem 4.4.1. Es seien $P_{m} (x)$ und $Q_{n} (x)$ Polynome vom Grad $m$ und $n$ , wobei $m \geq n \geq 1$ . Dann existieren zwei eindeutig bestimmte Polynome $S_{m - n} (x)$ vom Grad $m - n$ sowie $T_{l} (x)$ vom Grad $l$ , $l < n$ , so dass die Formel

\frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} = S_{m - n} (x) + \frac{T_{l} (x)}{Q_{n} (x)}

für alle $x \in ℝ$ mit $Q_{n} (x) \neq 0$ gilt.

Es gilt

\begin{array}{rcl} \frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} & = & \frac{P_{m} (x) - \frac{a_{m}}{b_{n}} x^{m - n} Q_{n} (x)}{Q_{n} (x)} + \frac{a_{m}}{b_{n}} x^{m - n} \\ = & \frac{{\tilde{P}}_{k} (x)}{Q_{n} (x)} + \frac{a_{m}}{b_{n}} x^{m - n}, \end{array}

wobei

deg ({\tilde{P}}_{k}) = k < m = deg (P_{m})

. Wir setzen diese Prozedur angewandt auf die Funktion

{\tilde{P}}_{k} (x) ∕ Q_{n} (x)

fort, solange der Grad des Polynoms im Zähler grösser oder gleich

n

ist. Daraus folgt die Existenz von

S_{m - n}

und

T_{l}

Beweis. Zum Nachweis der Eindeutigkeit nehmen wir an, dass eine weitere Darstellung

\frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} = c_{m - n} x^{m - n} + \dots + c_{0} + \frac{{\tilde{T}}_{l} (x)}{Q_{n} (x)}

gegeben ist. Dann gilt

c_{m - n} \overset{x \to \infty}{=} \frac{1}{x^{m - n}} \frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} + O (\frac{1}{x})

und damit

c_{m - n} = lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{m - n}} \frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} = \frac{a_{m}}{b_{n}} .

Als nächstes wendet man dieses Grenzwertargument auf die Funktion

\frac{P_{m} (x)}{Q_{n} (x)} - \frac{a_{m}}{b_{n}} x^{m - n} = c_{m - n - 1} x^{m - n} + \dots + c_{0} + \frac{{\tilde{T}}_{l} (x)}{Q_{n} (x)}

an usw. Dies ergibt schrittweise die Eindeutigkeit der Koeffizienten von $S_{m - n} (x) = c_{m - n} x^{m - n} + \dots + c_{0}$ . Die Eindeutigkeit von $T_{l} (x)$ folgt dann aus der Beziehung

T_{l} (x) = P_{m} (x) - S_{m - n} (x) Q_{n} (x), x \in ℝ .

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4.4.1 Die Division von Polynomen mit Rest.