Zur Berechnung der Koeffizienten Ajk.

4.4.4 Zur Berechnung der Koeffizienten $A_{j k}$ .

Aus der Darstellung

\frac{T_{l} (x)}{Q_{n} (x)} = \sum_{j = 1}^{N} \sum_{r = 1}^{k_{j}} \frac{A_{j r}}{{(x - a_{j})}^{r}}

erkennt man, dass der Term $\frac{A_{j k_{j}}}{{(x - a_{j})}^{k_{j}}}$ jeweils den Hauptteil der Singularitt des Quotienten für $x \to a_{j}$ trägt. Deshalb kann man den zugehörigen Koeffizienten folgendermaßen berechnen

A_{j k_{j} =} lim_{x \to a_{j}} \frac{T_{l} (x) {(x - a_{j})}^{k_{j}}}{Q_{n} (x)} .

Besonders interessant ist dieser Weg im Fall $k_{j} = 1$ , denn dann gilt wegen $Q_{n} (a_{j})$

A_{j 1} = lim_{x \to a_{j}} \frac{T_{l} (x)}{\frac{Q_{n} (x) - Q_{n} (a_{j})}{x - a_{j}}} = \frac{T_{l} (a_{j})}{Q_{n}^{'} (a_{j})} .

Weitere praktische Methoden zur Berechnung dieser Koeffizienten illustrieren wir nun an einem Beispiel.

Es sei

\frac{T_{2} (x)}{Q_{3} (x)} = \frac{x^{2} + 1}{x (x + 1) (x - 1)} .

Wir suchen die Koeffizienten $A_{j}$ in der Darstellung

\frac{x^{2} + 1}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A_{1}}{x} + \frac{A_{2}}{x - 1} + \frac{A_{3}}{x + 1} .

(4.25)

Kommen alle Faktoren im Nenner nur in der ersten Potenz vor, so kann man mit dem Nenner multiplizieren und erhält

x^{2} + 1 = A_{1} (x - 1) (x + 1) + A_{2} x (x + 1) + A_{3} x (x - 1) .

(4.26)

Setzt man nun $x$ nacheinander gleich den Nullstellen $x_{1} = 0$ , $x_{2} = 1$ und $x_{3} = - 1$ , so erhält man $\begin{array}{rcl} x = x_{1} = 0 : & 1 = A_{1} \cdot (- 1) \cdot 1, \\ x = x_{2} = 1 : & 2 = A_{2} \cdot 1 \cdot 2, \\ x = x_{3} = - 1 : & 2 = A_{3} \cdot (- 1) \cdot (- 2), \end{array}$

und folglich

A = - 1, A_{2} = 1, A_{3} = 1 .

Damit berechnet sich das unbestimmte Integral von $T_{2} (x) ∕ Q_{3} (x)$ als⁶ $\begin{array}{rcl} \int \frac{x^{2} + 1}{x (x + 1) (x - 1)} d x & = & \int (- \frac{1}{x} + \frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}) d x \\ = & - \int \frac{d x}{x} + \int \frac{d x}{x - 1} + \int \frac{d x}{x + 1} \\ = & - ln | x | + ln | x - 1 | + ln | x + 1 | + const . \end{array}$

Das Handauflegen. Die oben beschriebene Technik kann man durch das sogenannte “Handauflegen” ersetzen: Um z.B. den Koeffizienten $A_{1}$ bei dem Summanden $\frac{A_{1}}{x}$ zu bestimmen, zieht man den Faktor $\frac{1}{x}$ aus dem Ausdruck auf der linken Seite von (4.25) heraus

\frac{x^{2} + 1}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{1}{x} \cdot \frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)} .

Der Koeffizient $A$ gleicht dann dem Wert des verbleibenden Faktors $\frac{x^{2} + 1}{(x + 1) (x - 1)}$ in der zu $A_{1}$ zugehörigen Nullstelle $x_{1} = 0$ , d.h.

A_{1} = \frac{x_{1}^{2} + 1}{(x_{1} + 1) (x_{1} - 1)} = - 1 .

Um also den Koeffizienten zu einem Summanden $\frac{A_{j}}{x - x_{j}}$ zu finden, so “legt man die Hand auf” den Faktor $(x - x_{j})$ im Nenner der zu zerlegenden rationalen Funktion und setzt im verbleibenden Ausdruck $x = x_{j}$ .

Der Koeffizientenvergleich. Eine weitere Methode, welche auch bei Nullstellen höherer Ordnung zum Ziel führt, ist der sogenannte Koeffizientenvergleich. Dazu multipliziert man den Ausdruck (4.26) aus und sammelt auf beiden Seiten der Gleichung die Koeffizienten bei gleichen Potenzen von $x$ : $\begin{array}{rcl} x^{2} : & 1 = A_{1} + A_{2} + A_{3} \\ x : & 0 = A_{2} - A_{3} \\ 1 : & 1 = - A_{1} \end{array}$

Das entstehende Gleichungssystem löst man dann mit einem Standardverfahren.

Remark 4.4.3. Falls alle Koeffizienten der rationalen Funktion reell sind, so treten im Fall einfacher Nullstellen immer Paare von Summanden zu komplex konjugierten Nullstellen mit komplex konjugierten Koeffizienten auf

\frac{A_{j}}{x - a_{j}} + \frac{\bar{A_{j}}}{x - \bar{a_{j}}} = \frac{r x + s}{x^{2} + p x + q}

mit $p, q, r, s \in ℝ$ . Das unbestimmte Integral dieses Ausdruckes nimmt die Form

\int \frac{r x + s}{x^{2} + p x + q} d x = λ ln (x^{2} + p x + q) + μ arctan \frac{2 x + p}{\sqrt{4 q - p^{2}}} + const

an. Die Konstanten $λ$ und $μ$ berechnet man durch Differentiation und Koeffizientenvergleich.

⁶Die hier benutzte Linearität des unbestimmten Integrales ist eine sofortige Konsequenz der Linearität der Ableitung.

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4.4.4 Zur Berechnung der Koeffizienten Ajk.

4.4.4 Zur Berechnung der Koeffizienten $A_{j k}$ .