Die Zerlegung des Restterms.

Theorem 4.4.2. Es seien $T_{l}$ und $Q_{n}$ Polynome vom Grad $l$ und $n$ mit $1 \leq l < n$ . Für das Polynom $Q_{n}$ gelte⁵ $Q_{n} (x) = Π_{i = 1}^{N} {(x - a_{i})}^{k_{i}}$ mit den $N$ verschiedenen Nullstellen $a_{i}$ der Ordnung $k_{i} \in ℕ$ und $n = \sum_{i} k_{i}$ . Dann gibt es eindeutig bestimmte komplexe Koeffizienten $A_{j r}$ , so dass

\frac{T_{l} (x)}{Q_{n} (x)} = \sum_{j = 1}^{N} \sum_{r = 1}^{k_{j}} \frac{A_{j r}}{{(x - a_{j})}^{r}} .

Beweis. Wir führen eine Beweisskizze an. Es sei

Q_{n} (x) = {(x - a)}^{k} {\tilde{Q}}_{n - k} (x)

mit $deg ({\tilde{Q}}_{n - k}) = n - k < n$ und ${\tilde{Q}}_{n - k} (a) \neq 0$ . Dann gilt $\begin{array}{rcl} \frac{T_{l} (x)}{{(x - a)}^{k} {\tilde{Q}}_{n - k} (x)} & = & \frac{T_{l} (a)}{{(x - a)}^{k} {\tilde{Q}}_{n - k} (a)} + \frac{T_{l} (x) - \frac{T_{l} (a) {\tilde{Q}}_{n - k} (x)}{{\tilde{Q}}_{n - k} (a)}}{{(x - a)}^{k} {\tilde{Q}}_{n - k} (x)} \\ = & \frac{S (x)}{(x - a)} \cdot \frac{1}{{(x - a)}^{k - 1} {\tilde{Q}}_{n - k} (x)} + \frac{A_{k}}{{(x - a)}^{k}} . \end{array}$

Dabei ist die Funktion

S (x) = T_{l} (x) - \frac{T_{l} (a) {\tilde{Q}}_{n - k} (x)}{{\tilde{Q}}_{n - k} (a)}

ein Polynom in $x$ vom Grad $deg (S) \leq max {l, n - k} < n$ und verschwindet für $x = a$ . Nach dem Hauptsatz der Algebra ist dieses deshalb in der Form $S (x) = (x - a) T (x)$ mit einem Polynom $T (x)$ vom Grad $deg (T) = deg (S) - 1 \leq max l - 1, n - k - 1 < n - 1$ darstellbar, und es gilt

\frac{T_{l} (x)}{{(x - a)}^{k} {\tilde{Q}}_{n - k} (x)} = \frac{T (x)}{{(x - a)}^{k - 1} {\tilde{Q}}_{n - k} (x)} + \frac{A_{k}}{{(x - a)}^{k}} .

Wir setzen diese Prozedur jetzt iterativ bezgleich des Quotienten $\frac{T (x)}{{(x - a)}^{k - 1} {\tilde{Q}}_{n - k} (x)}$ fort und erhalten schrittweise

\frac{T_{l} (x)}{{(x - a)}^{k} {\tilde{Q}}_{n - k} (x)} = \frac{A_{1}}{x - a} + \dots + \frac{A_{k}}{{(x - a)}^{k}} + \frac{\tilde{T} (x)}{{\tilde{Q}}_{n - k} (x)}

mit $deg (\tilde{T}) < n - k$ . Dann wiederholt sich dieses Schema mit Bezug zu einer anderen Nullstelle von ${\tilde{Q}}_{n - k} (x)$ .

Die Eindeutigkeit der Koeffizienten $A_{j k}$ erhält man durch Koeffizientenvergleich im Grenzübergang $x \to a .$ □

⁵Diese Darstellung (mit komplexen Koeffizienten $a_{i}$ ) existiert nach dem Hauptsatz der Algebra, vergleiche mit (1.48).

4.4.3 Die Zerlegung des Restterms.