2.11.5  Die Eulersche Formel und die analytische Definition der Winkelfunktionen.

Aus (2.66)-(2.68) folgt, dass die in (2.56) definierte Exponentialfunktion $exp\left(z\right)$ für alle $z\in ℂ$ mit der in (1.43) definierten Funktion $e^z$ übereinstimmt

Insbesondere ergibt sich für $z=iy$, $y\in ℝ$ nach (1.40) die Eulersche Formel

In (1.43) haben wir $e^{iy}$ als die komplexe Zahl mit dem Absolutbetrag $1$ und dem Argument $y$ verstanden. Die geometrische Einführung der Sinus- und Cosinusfunktion als Verhältnis der Längen von Kathete zu Hypotenuse ergibt dann in den kartesischen Koordinaten zwangsläufig die Darstellung (1.40) und damit auch die Identitäten $$\begin{array}{rcll}cosy& =\text{Re}{e}^{iy}\stackrel{\text{(}\text{2.70<!--tex4ht:ref: eq:expezgleich -->}\text{)}}{=}& \text{Re}exp\left(iy\right)=2^{-1}\left(exp\left(iy\right)+exp\left(-iy\right)\right),& \\ siny& =\text{Im}{e}^{iy}\stackrel{\text{(}\text{2.70<!--tex4ht:ref: eq:expezgleich -->}\text{)}}{=}& \text{Im}exp\left(iy\right)={\left(2i\right)}^{-1}\left(exp\left(iy\right)-exp\left(-iy\right)\right),& \end{array}$$

für beliebiges $y\in ℝ$. Daraus folgt $$\begin{array}{rcll}cosy& =& \underset{n\to \infty }{lim}{2}^{-1}\left(t_n\left(iy\right)+t_n\left(-iy\right)\right)=\underset{n\to \infty }{lim}{c}_n\left(y\right),& \text{(2.72)}\\ siny& =& \underset{n\to \infty }{lim}{\left(2i\right)}^{-1}\left(t_n\left(iy\right)-t_n\left(-iy\right)\right)=\underset{n\to \infty }{lim}{s}_n\left(y\right),& \text{(2.73)}\end{array}$$

mit $$\begin{array}{rcll}{c}_n\left(y\right)& =& 1-\frac{y^2}{2!}+\frac{y^4}{4!}-\frac{y^6}{6!}+\cdots +{\left(-1\right)}^n\frac{y^{2n}}{\left(2n\right)!},& \\ s_n\left(y\right)& =& \underset{n\to \infty }{lim}y-\frac{y^3}{3!}+\frac{y^5}{5!}-\frac{y^7}{7!}+\cdots +{\left(-1\right)}^n\frac{y^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}.& \end{array}$$

Diese Grenzwerte versteht man als analytische Definition der Winkelfunktionen, welche im Umkehrschluss dann über die bekannten geometrischen Eigenschaften verfügen. Im Gegensatz zur Ambivalenz der geometrischen Definition¹⁷sind $cosy$ und $siny$ durch (2.72) und (2.73) für beliebige $y\in ℝ$ eindeutig bestimmt.¹⁸Viele Eigenschaften dieser Funktionen, z.B. deren Periodizität, sind aber viel leichter in ihrer geometrischen Interpretation ersichtlich.

Aus der Definition der Cosinus- und Sinusfunktion für allgemeine komplexe Argumente $z\in ℂ$ $$\begin{array}{rcll}cosz& =& 2^{-1}\left(exp\left(iz\right)+exp\left(-iz\right)\right),& \text{(2.74)}\\ sinz& =& {\left(2i\right)}^{-1}\left(exp\left(iz\right)-exp\left(-iz\right)\right),& \text{(2.75)}\end{array}$$

folgen analog die Darstellungen $$\begin{array}{rcll}cosz& =& 1-\frac{z^2}{2!}+\frac{z^4}{4!}-\frac{z^6}{6!}\pm \cdots ,& \\ sinz& =& z-\frac{z^3}{3!}+\frac{z^5}{5!}-\frac{z^7}{7!}\pm \cdots & \end{array}$$

Da sich die Funktionen $exp\left(z\right)$ und $e^z$ nicht unterscheiden, werden wir im weiteren immer nur die Bezeichnung $e^z$ anwenden.