Wichtige Eigenschaften der komplexen Zahlen.

1.11.3 Wichtige Eigenschaften der komplexen Zahlen.

Es sei $z = (x, y) = x + i y$ eine komplexe Zahl. Wir definieren dann zu $z$ $\begin{array}{rcl} den Realteil & Re z : = x, \\ den Imaginrteil & Im z : = y, \\ die komplex konjugierte Zahl & \bar{z} : = x - i y . \end{array}$

Lemma 1.11.2. Für beliebige $z, z_{1}, z_{2} \in ℂ$ und $α \in ℝ$ gilt $\begin{array}{rcl} \bar{z_{1} + z_{2}} & = & \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}, \\ \bar{z_{1} \cdot z_{2}} & = & \bar{z_{1}} \cdot \bar{z_{2}}, \\ Re (z_{1} + z_{2}) & = & Re z_{1} + Re z_{2}, \\ Im (z_{1} + z_{2}) & = & Im z_{1} + Im z_{2}, \\ Re α z & = & α Re z, \\ Im α z & = & α Im z . \end{array}$

Das Produkt

z \cdot \bar{z} = (x, y) \cdot (x, - y) = (x^{2} + y^{2}, 0) = x^{2} + y^{2} \geq 0

ist offensichtlich stets eine nichtnegative reelle Zahl, welche genau dann verschwindet falls $z = 0$ . Wir definieren den Absolutbetrag (Betrag) $| z |$ einer komplexen Zahl $z$ als

| z | : = \sqrt{z \bar{z}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}},

wobei wir den nichtnegativen Wurzelwert verwenden.

Problem 1.11.3. Beweisen Sie die Dreiecksungleichung für die komplexen Zahlen

| z_{1} + z_{2} | \leq | z_{1} | + | z_{2} |, z_{1}, z_{2} \in ℂ .

Wenn wir in der komplexen Zahlenebene von den kartesischen zu den Polarkoordinaten $(r, ϕ)$ wechseln, so ist $r = | z |$ nichts anderes als der euklidsche Abstand zum Ursprung. Die angulare Koordinate $ϕ$ hingegen nennt man das Argument $arg z$ . Sie ist (ausserhalb der Ursprungs) bis auf Addition von $2 π n$ mit $n \in ℤ$ definiert. Für eine gegebene komplexe Zahl $z$ mit $| z | = r$ und $arg z = ϕ$ folgt aus den Regeln der Transformation von Polarkoordinaten zu den kartesischen Koordinaten

x = Re z = r cos ϕ, y = Im z = r sin ϕ,

und damit auch

z = x + i y = r (cos ϕ + i sin ϕ) .

Desweiteren benutzt man oft die Formel

e^{i ϕ} : = cos ϕ + i sin ϕ,

(1.40)

wobei die linke Seite für uns an dieser Stelle zunächst nur die Bedeutung einer Kurzschreibweise besitzt. Eine beliebige komplexe Zahl lässt sich dann als

z = r e^{i ϕ}, r = | z |, ϕ = arg z

darstellen.

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