Beweis. Da $t_n\left(z\right)$ ein Polynom mit reellen Koeffizienten ist, so gilt $t_n\left(\overline{z}\right)=\overline{t_n\left(z\right)}$ und im Grenzwert (2.65).

Aus (2.65) folgt

und in Anbetracht der Multiplikativität gilt

Da sowohl $|exp\left(z\right)|$ als auch $exp\left(x\right)$ positive Grössen sind, so erhalten wir (2.66).

Es sei $w=exp\left(z\right)\ne 0$. Dann gilt $argw=arg\frac{w}{\left|w\right|}$ und nach (2.66) sowie der Multiplikativität

Aufgrund der Multiplikativität Regeln zur Multiplikation komplexer Zahlen in Polarkoordinaten gilt $$\begin{array}{rcll}arg\left(exp\left(iy\right)\right)& =& arg\left(exp\left(iy{N}^{-1}\cdot N\right)\right)& \\ & \stackrel{\text{(}\text{2.57<!--tex4ht:ref: eq:thmexpmult -->}\text{)}}{=}& arg\left({\left(exp\left(iy{N}^{-1}\right)\right)}^N\right)& \\ & \stackrel{\text{(}\text{1.42<!--tex4ht:ref: eq:multipl2 -->}\text{)}}{=}& Narg\left(exp\left(iy{N}^{-1}\right)\right)mod2\pi & \end{array}$$

für beliebiges $N\in \mathbb{N}$. Wir wählen $N$ genügend gross, so dass $\left|iy{N}^{-1}\right|<1$. Aus (2.63) folgt dann die Darstellung

$$exp\left(iy{N}^{-1}\right)=1+iy{N}^{-1}+u_N,,u_N\in ℂ,\left|u_N\right|\le y^2{N}^{-2}.$$

(2.69)

Wir werden nun zeigen, dass aus Letzterem $$\begin{array}{rcll}arg\left(exp\left(iy\right)\right)& =& Narg\left(exp\left(iy{N}^{-1}\right)\right)& \\ & =& Narg\left(1+iy{N}^{-1}+u_N\right)\stackrel{N\to \infty }{\to }ymod2\pi & \end{array}$$

folgt, was dann den Beweis abschliesst.

Wir führen die Bezeichnungen $y_N=y{N}^{-1}$ und $z_N=1+i{y}_N+u_N$ ein. Wegen (2.69) liegt $z_N$ in oder auf dem Kreis $U_N$ vom Radius $|u_N{|}^2<1$ um den Punkt $1+i{y}_N=\left(1,y_N\right)$. Das Argument von $z_N$ lässt sich damit durch die Winkel zur reellen Achse der beiden Tangenten $t_1,t_2$ vom Ursprung $\left(0,0\right)$ an diesen Kreis abschätzen. Damit gilt

wobei ${\varphi }_N=arg\left(1+i{y}_N\right)$ der Winkel im rechtwinkligen Dreieck $\left(0,0\right)$, $\left(1,0\right)$, $\left(1,y_N\right)$ beim Punkt $\left(0,0\right)$ ist und ${\psi }_N$ den Betrag des Winkels zwischen dem Vektor $\left(1,y_N\right)$ zum Mittelpunkt von $U_N$ und den Tangenten $t_1$ bzw. $t_2$ an diesen Kreis darstellt. Da der Wert von ${\varphi }_N$ im Bogenmass dem Doppelten des Flächeninhalt des Kreissegmentes des Einheitskreises mit dieser Winkelöffnung gleicht und letzteres im Dreieck $\left(0,0\right)$, $\left(1,0\right)$, $\left(1,y_N\right)$ enthalten ist, so kann nach Vergleich der Flächeninhalte ${\varphi }_N$ den Dreiecksinhalt nicht übersteigen, d.h.

Auf der anderen Seite enthält das Kreissegment, wenn man vom Schnittpunkt des Einheitskreises mit der Strecke $\overline{\left(0,0\right),\left(1,y_N\right)}$ das Lot auf die reelle Achse fällt, ein rechtwinkliges Dreieck, welches man durch Stauchung um den Faktor $\sqrt{1+y_N^2}$ aus dem Dreieck $\left(0,0\right)$, $\left(1,0\right)$, $\left(1,y_N\right)$ erhält. Damit kann ${\varphi }_N$ den Flächeninhalt des gestauchten Dreiecks nicht unterschreiten, d.h.

Für den Winkel ${\psi }_N$ benötigen wir nur eine Abschätzung von oben. Es sei $R=\sqrt{1+y_N^2-y_N^4}$ der Abstand der Berührungspunkte von $t_1$ und $t_2$ zum Koordinatenursprung. Das Kreissegment mit dem Radius $R$, welches von den beiden Tangenten eingeschlossen wird, besitzt den Öffnungswinkel $2{\psi }_N$ und wird durch die Strecke $\overline{\left(0,0\right),\left(1,y_N\right)}$ halbiert. Es ist in der Vereinigung der beiden rechtwinkligen Dreiecke enthalten, welche jeweils durch den Ursprung $\left(0,0\right)$, dem Punkt $\left(1,y_N\right)$ sowie einem der Berührungspunkte der Tangenten gebildet werden. Der Flächeninhalt des Kreissegmentes beträgt ${\psi }_N{R}^2$ und der Gesamtflächeninhalt der beiden Dreiecke $y_N^{2}R$, woraus

folgt, da $y_N^2>y_N^4$. Damit ergibt sich

sowie nach Multiplikation mit $N$

Für $N\to \infty$ folgt nach Satz 2.1.12 schliesslich $Narg{z}_N\to y$. □