Einige elementare Funktionen einer komplexen Veranderlichen.

1.11.5 Einige elementare Funktionen einer komplexen Veränderlichen.

Wir definieren die Exponentialfunktion einer komplexen Veränderlichen wie folgt:

e^{z} : = e^{Re z} (cos (Im z) + i sin (Im z)) .

(1.43)

Für reelle Argumente $z = x$ stimmt diese Definition mit der Exponentialfunktion $e^{x}$ einer reellen Variablen überein; für imaginäre $z = i y$ erhalten wir (1.40). Zudem ist diese Definition durch die gewünschte Eigenschaft

e^{z_{1}} \cdot e^{z_{2}} = e^{z_{1} + z_{2}}, z_{1}, z_{2} \in ℂ,

(1.44)

und damit

e^{z} = e^{x + i y} = e^{x} \cdot e^{i y} = e^{x} (cos y + i sin y)

motiviert. Umgekehrt folgt (1.44) tatschlich aus (1.43) und (1.41), (1.42).

Aus $\begin{array}{rcl} e^{i y} & = & cos y + i sin y, \\ e^{- i y} & = & cos (- y) + i sin (- y) \\ = & cos y - i sin y \end{array}$

für $y \in ℝ$ erhält man die Darstellungen $\begin{array}{rcl} cos y & = & \frac{e^{i y} + e^{- i y}}{2}, \\ sin y & = & \frac{e^{i y} - e^{- i y}}{2 i} . \end{array}$

Dies motiviert die folgenden Definitionen der Winkelfunktionen für komplexe Argumente

cos z : = \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2}, sin z = \frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i}, z \in ℂ .

Problem 1.11.5. Berechnen Sie $cos i$ und $sin i$ !

Für $n \in ℕ$ definieren wir die Wurzell $\sqrt[n]{z}$ des komplexen Argumentes $z$

w =^{n} \sqrt{z} \overset{def}{\Leftrightarrow} w^{n} = z, w \in ℂ .

Für $z = r e^{i ϕ}$ und $w = R e^{i ψ}$ bedeutet dies

w^{n} = R^{n} e^{i n ψ} = R^{n} (cos n ψ + i sin n ψ) = r (cos ϕ + i sin ϕ)

und damit auch $R^{2 n} = \bar{w^{n}} w^{n} = \bar{z} z = r^{2}$ also $R = r^{1 ∕ n}$ . Der Vergleich der Argumente führt zur Identität $n ψ = ϕ mod 2 π$ , welche die unabhängigen Lösungen

ψ_{k} = \frac{ϕ + 2 k π}{n}, k = 0, 1, 2, \dots, n - 1

besitzt. Also gilt

w =^{n} \sqrt{z} \Leftrightarrow w = w_{k} = | z |^{1 ∕ n} e^{i \frac{ϕ + 2 k π}{n}}, k = 0, 1, 2, \dots, n - 1 .

Den komplexe Logarithmus führen wir ein durch

w = Ln z \overset{def}{\Leftrightarrow} z = e^{w}, z, w \in ℂ .

Damit gilt

z = | z | e^{i arg z} = e^{w} = e^{Re w} e^{i Im w},

also $\begin{array}{rcl} e^{Re w} & = & | z |, \\ Im w & = & arg z mod 2 π . \end{array}$

Diese Gleichungen sind lösbar für $z \neq 0$ durch $\begin{array}{rcl} w = Ln z & \Leftrightarrow & w = w_{k}, \\ Re w_{k} = ln | z |, \\ Im w_{k} = arg z + 2 k π, k \in ℤ, z \neq 0 . \end{array}$

Damit ist der komplexe Logarithmus als mehrwertige Abbildung einer komplexen Variablen zu verstehen.

Schliesslich definieren wir für $z \in ℂ \ {0}$ und $w \in ℂ$

v = z^{w} \overset{def}{\Leftrightarrow} v = e^{w Ln z} .

Dies ist im allgemeinen Fall wieder eine mehrwertige Abbildung.

Problem 1.11.6. Berechnen Sie $i^{i}!$

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