Die Eigenschaften der Exponentialfunktion

Beweis. Wegen der Konvergenz von $t_{n} (z)$ gegen $exp (z)$ , von $t_{n} (w)$ gegen $exp (w)$ sowie von $t_{n} (z + w)$ gegen $exp (z + w)$ genügt es zu zeigen, dass

lim_{n \to \infty} (t_{n} (z) \cdot t_{n} (w) - t_{n} (z + w)) = 0 .

(2.58)

Aus der Definition von $t_{n} (z)$ und $t_{n} (w)$ folgt¹⁵ $\begin{array}{rcl} t_{n} (z) t_{n} (w) & = & \sum_{p = 0}^{n} \frac{z^{p}}{p!} \cdot \sum_{q = 0}^{n} \frac{w^{q}}{q!} = \sum_{p, q = 0}^{n} \frac{z^{p} w^{q}}{p! q!} \\ = & \underset{S_{1} (z, w, n)}{\underset{︸}{\sum_{\overset{p, q = 0}{p + q \leq n}}^{n} \frac{z^{p} w^{q}}{p! q!}}} + \underset{S_{2} (z, w, n)}{\underset{︸}{\sum_{\overset{p, q = 0}{p + q > n}}^{n} \frac{z^{p} w^{q}}{p! q!}}} . & (2.59) \end{array}$

Wir betrachten nun die Summen $S_{1} (z, w, n)$ und $S_{2} (z, w, n)$ im Einzelnen. Durch Einführen einer neuen Summationsvariablen $k = p + q$ und eine entsprechende Substitution $q = k - p$ kann wegen $(\binom{k}{p}) = \frac{k!}{p! (k - p)!}$ die Doppelsumme für $S_{1} (z, w, n)$ folgendermaßen geschrieben werden

S_{1} (z, w, n) = \sum_{k = 0}^{n} \sum_{p = 0}^{k} \frac{z^{p} w^{k - p}}{p! (k - p)!} = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} \sum_{p = 0}^{k} (\binom{k}{p}) z^{p} w^{k - p} .

Nach dem binomischen Lehrsatz ergibt sich

S_{1} (z, w, n) = \sum_{k = 0}^{n} \frac{1}{k!} {(z + w)}^{k} = t_{n} (z + w) .

Damit gilt wegen (2.59)

| t_{n} (z) \cdot t_{n} (w) - t_{n} (z + w) | = | S_{2} (z, w, n) |,

(2.60)

dessen Grösse wir im weiteren abschätzen.

Dazu stellen wir zunächst fest, dass die Doppelsumme für $S_{2} (z, w, n)$ über die ganzen Zahlen $p, q$ mit $0 \leq p, q \leq n$ und $p + q > n$ genau $2^{- 1} n (n + 1)$ Summanden enthält. Tatsächlich, für gegebenes $p$ läuft der Summationsindex $q$ lediglich von $n - p + 1$ bis $n$ , was genau $p$ Summanden erzeugt. Diese Anzahl ist dann für $p = 1, \dots, n$ aufzusummieren.

Desweiteren gilt für $p, q$ mit $0 \leq p, q \leq n$ und $p + q > n$ die Abschätzung¹⁶

p! q! \geq {([\frac{n}{2}]!)}^{2}

(2.61)

Diese folgt wegen $p + q \geq n + 1$ induktiv aus der Kette von Ungleichungen

1 \cdot n! \geq 2! \cdot (n - 1)! \geq \dots \geq l! (n - l)! \geq \dots \geq [\frac{n}{2}]! (n - [\frac{n}{2}])!

für $1 \leq l \leq [\frac{n}{2}]$ .

Es sei $C = max {| z |, | w |, 1}$ . Dann lässt sich nach (2.61) wegen $p + q \leq 2 n$ jeder Summand in der Summe $S_{2} (z, w, n)$ durch

|\frac{z^{p} w^{q}}{p! q!}| \leq \frac{C^{p + q}}{[\frac{n}{2}]! \cdot [\frac{n}{2}]!} \leq C^{2 n} {([\frac{n}{2}]!)}^{- 2} .

Unter Berücksichtigung der Anzahl der Summanden ergibt sich

| S_{2} (z, w, n) | \leq \frac{n (n + 1)}{2} C^{2 n} {([\frac{n}{2}]!)}^{- 2} .

Wegen

lim_{n \to \infty} \frac{n (n + 1)}{2} C^{2 n} {([\frac{n}{2}]!)}^{- 2} = 0

(2.62)

und (2.60) folgt daraus $lim_{n \to \infty} | S_{2} (z, w, n) | = 0$ und nach Aufgabe 2.8.9 der Grenzwert (2.58). □

Wir ziehen nun einige Folgerungen aus der Multiplikativiät. Direkt aus der Definition der

exp

-Funktion ergibt sich

Dann folgt schrittweise

exp (n) = e^{n}

{(exp (m^{- 1}))}^{m} = exp (1) = e

und damit

exp (n m^{- 1}) = e^{n ∕ m}

für

n, m \in ℕ

. Weiterhin erhält man aus

zunächst

\begin{array}{rcl} exp (z) \neq 0 & für  alle & z \in ℂ, \\ exp (t) > 0 & für  alle & t \in ℝ, \end{array}

¹⁵Wir verwenden hier der Kürze halber die Konvention $z^{0} = 1$ auch für $z = 0$ .

¹⁶Hier bezeichnet $[\frac{n}{2}]$ den ganzzahligen Anteil von $n ∕ 2$ , d.h. die grösste ganze Zahl, welche $n ∕ 2$ nicht übersteigt.

2.11.2 Die Eigenschaften der Exponentialfunktion - Multiplikativität.