Zur Definition der Exponentialfunktion fur komplexe Argumente.

Beweis. Aufgrund der Vollständigkeit von $ℂ$ genügt es zu zeigen, dass ${t_{n} (z)}_{n = 1}^{\infty}$ eine Fundamentalfolge ist. Offensichtlich gilt

t_{m} (z) - t_{n} (z) = \sum_{k = n + 1}^{m} \frac{z^{k}}{k!}, m, n \in ℕ .

Nach der Dreiecksungleichung folgt daraus

| t_{m} (z) - t_{n} (z) | \leq \sum_{k = n + 1}^{m} \frac{| z |^{k}}{k!} .

Wir fixieren nun einen beliebigen Wert $z \in ℂ$ und wählen $N \in ℕ$ , so dass $| z | < N$ . Betrachtet man $m \geq k \geq n \geq N$ , so gilt wegen

k! = 1 \cdot \dots \cdot (N - 1) \cdot \underset{k - N + 1 Faktoren}{\underset{︸}{N \cdot \dots \cdot k}} \geq N^{k - N + 1}

und der geometrischen Summenformel auch $\begin{array}{rcl} | t_{m} (z) - t_{n} (z) | \leq \sum_{k = n + 1}^{m} \frac{| z |^{k}}{N^{k - N + 1}} & = & \frac{| z |^{n + 1}}{N^{n - N + 2}} \sum_{k = 0}^{m - n - 1} \frac{| z |^{k}}{N^{k}} \\ \leq & {(\frac{| z |}{N})}^{n + 1} \frac{N^{N - 1}}{1 - \frac{| z |}{N}} . \end{array}$

Da $| z | N^{- 1} < 1$ , so konvergiert ${(| z | N^{- 1})}^{n + 1}$ gegen $0$ für $n \to \infty$ . Damit lässt sich für fixierte Werte von $z$ und $N$ und beliebiges $ε > 0$ ein $N_{ε}^{'} \geq N$ finden, so dass

{(\frac{| z |}{N})}^{n + 1} \frac{N^{N - 1}}{1 - \frac{| z |}{N}} < ε für  alle n \geq N_{ε}^{'} .

Daraus folgt $| t_{m} (z) - t_{n} (z) | < ε$ für alle $m \geq n \geq N_{ε}^{'}$ , d.h. ${t_{n} (z)}_{n = 1}^{\infty} \in C F (ℂ)$ . □

2.11.1 Zur Definition der Exponentialfunktion für komplexe Argumente.