Grenzwerte vektorwertiger Funktionen.

In den Anwendungen spielen Funktionen mit Werten in

ℝ^{n}

oder

ℂ^{n}

eine wichtige Rolle. Aufgrund von Satz 2.10.7 kann man die Regeln für das Rechnen mit Grenzwerten von Vektorfolgen direkt auf Grenzwerte von vektorwertigen Funktionen übertragen. Dazu betrachten wir den Fall

(M_{2}, d_{2}) = (K^{n}, d_{∥ \cdot ∥})

mit

K = ℝ

oder

K = ℂ

. Wiederum sei

X

eine Teilmenge von

M

und

x_{0}

sei ein Häufungspunkt von

X

Theorem 2.10.9. Angenommen die Funktionen

f : X \to K^{n}, g : X \to K^{n}, α : X \to K,

mit $X \subset M$ , $K \in {ℝ, ℂ}$ , $n \in ℕ$ , besitzen für $x \to x_{0} \in acc (X)$ die Grenzwerte

y = lim_{x \to x_{0}} f (x) \in K^{n}, z = lim_{x \to x_{0}} g (x) \in K^{n}, a = lim_{x \to x_{0}} α (x) \in K,

dann existieren auch die Grenzwerte $\begin{array}{rcl} lim_{x \to x_{0}} (f (x) + g (x)) & = & y + z, \\ lim_{x \to x_{0}} α (x) f (x) & = & a y, \\ lim_{x \to x_{0}} ⟨ f (x), g (x) ⟩ & = & ⟨ y, z ⟩ . \end{array}$

Falls $α (x) \neq 0$ für alle $x \in X$ sowie $a \neq 0$ , so gilt zudem

lim_{x \to x_{0}} \frac{1}{α (x)} = \frac{1}{a} .

Problem 2.10.10. Beweisen Sie diesen Satz ausgehend von den Sätzen 2.10.7, 2.8.3 sowie 2.1.10.

Problem 2.10.11. Zeigen Sie, dass der Grenzwert $y = lim_{x \to x_{0}} f (x)$ einer komplexwertigen Funktion genau dann existiert, wenn sowohl der Grenzwertes des Realteiles $y_{R} = lim_{x \to x_{0}} Re f (x)$ als des Imaginärteiles $y_{I} = lim_{x \to x_{0}} Im f (x)$ existieren. Dann gilt $y = y_{R} + i y_{I}$ . Wenden Sie dabei die Aussage von Aufgabe 2.8.4 an.

2.10.2 Grenzwerte vektorwertiger Funktionen.