Das Rechnen mit reellen Grenzwerten.

Theorem 2.1.10. Es seien ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ und ${y_{n}}_{n \in ℕ}$ reelle Folgen und es gelte $x_{n} \overset{n \to \infty}{\to} a$ und $y_{n} \overset{n \to \infty}{\to} b$ mit $a, b \in ℝ$ . Daraus folgt $\begin{array}{rcl} a + b & = & lim_{n \to \infty} (x_{n} + y_{n}), & (2.3) \\ a \cdot b & = & lim_{n \to \infty} (x_{n} \cdot y_{n}), & (2.4) \\ \frac{a}{b} & = & lim_{n \to \infty} \frac{x_{n}}{y_{n}}, falls b \neq 0, y_{n} \neq 0, & (2.5) \\ | a | & = & lim_{n \to \infty} | x_{n} | . & (2.6) \end{array}$

Der Beweis von (2.3) - (2.5) läuft völlig analog zum Fall der rationalen Grenzwerte in Satz 1.7.6. Da wir dort nur (1.27) d.h. (2.3) explizit gezeigt haben, so skizzieren wir hier auch den Nachweis von (2.4) und (2.5), vergleiche dabei mit Problem 1.7.7 und 1.29.

Beweis. Zum Grenzwert (2.4): Als konvergente Folge ist ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ beschränkt (Satz 2.1.3), also $| x_{n} | \leq c$ für alle $n \in ℕ$ und ein geeignetes $c \in ℝ$ , $c > 0$ . Nach der Dreiecksungleichung gilt

| a b - x_{n} y_{n} | = | x_{n} (b - y_{n}) + (a - x_{n}) b | \leq | x_{n} | | b - y_{n} | + | a - x_{n} | | b | .

Fixiere ein beliebiges $ε > 0$ . Wegen $x_{n} \overset{n \to \infty}{\to} a$ gilt $| a - x_{n} | < 2^{- 1} ε {(1 + | b |)}^{- 1}$ für $n \geq N_{2^{- 1} ε {(1 + | b |)}^{- 1}}^{(a)}$ , wegen $y_{n} \overset{n \to \infty}{\to} b$ gilt $| b - y_{n} | < 2^{- 1} ε {(1 + c)}^{- 1}$ für $n \geq N_{2^{- 1} ε {(1 + c)}^{- 1}}^{(b)}$ . Daraus folgt

| a b - x_{n} y_{n} | < ε für n \geq max {N_{2^{- 1} ε {(1 + | b |)}^{- 1}}^{(a)}, N_{2^{- 1} ε {(1 + c)}^{- 1}}^{(b)}}

also $x_{n} y_{n} \overset{n \to \infty}{\to} a b$ .

Zusammen mit (2.4) reicht es für den Beweis von (2.5) zu zeigen, dass $y_{n}^{- 1} \overset{n \to \infty}{\to} b^{- 1}$ . Da $b \neq 0$ betrachte $ϵ : = 2^{- 1} | b | > 0$ . Für $n \geq N_{ϵ}^{(b)}$ gilt $y_{n} \in] b - ϵ, b + ϵ [$ und damit $| y_{n} | > 2^{- 1} | b |$ bzw. $| y_{n}^{- 1} | < 2 | b |^{- 1}$ . Aus

| b^{- 1} - y_{n}^{- 1} | = \frac{| y_{n} - b |}{| b | | y_{n} |} \leq 2 | b |^{- 2} | y_{n} - b |

folgt $| b^{- 1} - y_{n}^{- 1} | < ε$ für $n \geq max \{N_{2^{- 1} | b |^{2} ε}^{(b)}, N_{ϵ}^{(b)}\}$ , da dann zusätzlich $| y_{n} - b | < 2^{- 1} | b |^{2} ε$ gilt.

Der Grenzwert (2.6) folgt schliesslich aus der Ungleichung

| | x_{n} | - | a | | \leq | x_{n} - a |,

welche ihrerseits eine Konsequenz der Dreiecksungleichung ist, denn damit folgt aus $x_{n} \in U_{ε} (a)$ auch $| x_{n} | \in U_{ε} (| a |)$ . □

2.1.4 Das Rechnen mit reellen Grenzwerten.