Die ε-δ-Definition und die Folgendefinition des Grenzwertes einer Funktion.

Im Weiteren seien

(M_{1}, d_{1})

und

(M_{2}, d_{2})

metrische Räume,

X \subset M_{1}

sowie

f

eine Funktion

f : X \to Y

. Desweiteren gelte

x_{0} \in acc (X)

sowie

y_{0} \in M_{2}

Definition 2.10.1. Man sagt, dass $y_{0}$ der Grenzwert von $f (x)$ für $x \to x_{0}$ ist und schreibt $y_{0} = lim_{x \to x_{0}} f (x)$ , genau dann wenn folgende Aussage wahr ist

\forall_{ε > 0} \exists_{δ_{ε} > 0} \forall_{x \in U_{δ_{ε}} (x_{0}) \cap (X \ {x_{0}})} f (x) \in U_{ε} (y_{0}) .

(2.55)

Beachten Sie, dass der Punkt

x_{0}

selbst bei der Berechnung des Grenzwertes aus der Betrachtung ausgeschlossen wird! Die oben angegebene Definition wird häufig als die

ε

δ

-Definition des Grenzwertes von Funktionen bezeichnet.

Problem 2.10.5. Es sei $y_{0}$ der Grenzwert von $f (x)$ für $x \to x_{0}$ . Dann existiert ein $δ > 0$ , so dass $f$ auf $U_{δ} (x_{0}) \cap X$ beschränkt ist, d.h. es gibt eine endliche Konstante $C \in ℝ$ und ein $δ > 0$ , so dass $d_{2} (y_{0}, f (x)) \leq C$ für alle $x \in U_{δ} (x_{0}) \cap X$ .

Im nächsten Satz formulieren wir eine wichtige äquivalente Charakterisierung de Grenzwertbegriffes für Funktionen, welche man manchmal auch als die Folgendefinition bezeichnet:

Theorem 2.10.7. Der Wert $y_{0}$ ist der Grenzwert von $f (x)$ für $x \to x_{0}$ genau dann wenn für jede Folge ${x_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ mit Gliedern $x_{k} \in X \ {x_{0}}$ , welche gegen $x_{0}$ konvergiert, die Folge der Funktionswerte $y_{k} = f (x_{k})$ stets gegen $y_{0}$ konvergiert, d.h.

y_{0} = lim_{x \to x_{0}} f (x) \Leftrightarrow \forall_{{x_{k}}_{k \in ℕ, x_{k} \in X \ {x_{0}}}} (lim_{k \to \infty} x_{k} = x_{0} \Rightarrow lim_{k \to \infty} f (x_{k}) = y_{0}) .

Beweis. Zum Beweis der Implikation $\Rightarrow$ betrachten wir eine Folge von Gliedern $x_{k} \in X$ , $x_{k} \neq x_{0}$ mit $x_{0} = lim_{k \to \infty} x_{k}$ . Für diese Folge gibt es zu jedem $δ > 0$ ein $N_{δ} \in ℕ$ mit der Eigenschaft, dass $x_{k} \in U_{δ} (x_{0})$ für alle $k \geq N_{δ}$ . Man wähle nun ein beliebiges $ε > 0$ . Dann existiert nach (2.55) ein $δ_{ε} > 0$ , so dass $f (x) \in U_{ε} (y_{0})$ für alle $x \in U_{δ_{ε}} (x_{0}) \cap (X \ {x_{0}})$ . Da insbesondere $x_{k} \in U_{δ_{ε}} (x_{0}) \cap (X \ {x_{0}})$ für alle $k \geq N_{δ_{ε}}$ , so gilt $y_{k} = f (x_{k}) \in U_{ε} (y_{0})$ für alle $k \geq N_{δ_{ε}}$ und damit $y_{0} = lim_{k \to \infty} y_{k}$ .

Die Richtung $\Leftarrow$ beweisen wir indirekt ausgehend von der Gegenannahme

\exists_{ε_{0} > 0} \forall_{δ > 0} \exists_{x_{δ} \in U_{δ} (x_{0}) \cap (X \ {x_{0}})} \underset{f (x_{δ}) \neq U_{ε_{0}} (x_{0})}{\underset{︸}{d (f (x_{δ}), y_{0}) \geq ε_{0}}} .

Wir betrachten nun $δ = δ_{k} = k^{- 1}$ , $k \in ℕ$ . Dann gibt es Elemente $x_{k} \in U_{k^{- 1}} (x_{0}) \cap (X \ {x_{0}})$ mit der Eigenschaft $y_{k} = f (x_{k}) \notin U_{ε_{0}} (y_{0})$ . Die Folge ${x_{k}}_{k = 1}^{\infty}$ konvergiert offensichtlich gegen $x_{0}$ für $k \to \infty$ während $d (y_{k}, y_{0}) \geq ε_{0} > 0$ , d.h. $y_{k} \to̸ y_{0}$ . Dies widerspricht aber der Voraussetzung $lim_{k \to \infty} x_{k} = x_{0} \Rightarrow lim_{k \to \infty} f (x_{k}) = y_{0}$ . □

Wir betonen nochmals, dass in der Folgendefinition

y_{k} = f (x_{k})

nicht nur immer konvergiert falls

x_{k} \to x_{0}

, sonder dass

y_{k}

immer gegen ein und denselben Grenzwert

y_{0}

konvergiert, unabhängig von der konkreten Wahl der Argumentenfolge

x_{k} \to x_{0}

. In diesem Zusammenhang wird die Folgendefinition häufig angewendet, um die Existenz eines Grenzwertes zu widerlegen, wie das nächste Beispiel zeigt:

Example 2.10.8. Es sei $X = ℝ^{2} \ {0}$ und $f : X \to ℝ$ ist gegeben durch

f (x) = \frac{ξ_{1}^{2} - ξ_{2}^{2}}{ξ_{1}^{2} + ξ_{2}^{2}}, x = (ξ_{1}, ξ_{2}) \in ℝ^{2} .

Diese Funktion besitzt keinen Grenzwert für $x \to (0, 0)$ . Tatsächlich, wir betrachten zunächst die Folge der Argumente $x_{k} = (k^{- 1}, k^{- 1}) \to (0, 0)$ . Da wir für $ξ_{1} = ξ_{2} = k^{- 1}$ den Funktionswert $y_{k} = f (x_{k}) = 0$ erhalten, so gilt $y_{k} \to 0$ . Wählen wir jedoch $x_{k}^{'} = (k^{- 1}, 0) \to (0, 0)$ , so gilt $y_{k}^{'} = f (x_{k}^{'}) = 1 \to̸ 0$ .

2.10.1 Die ε-δ-Definition und die Folgendefinition des Grenzwertes einer Funktion.

2.10.1 Die $ε$ - $δ$ -Definition und die Folgendefinition des Grenzwertes einer Funktion.