Rechtsseitige und Linksseitige Grenzwerte.

Einen weiteren wichtigen Spezialfall stellen Funktionen reeller Argumente dar. Es sei also

(M_{1}, d_{1}) = (ℝ, d_{| \cdot |})

und

X \subset ℝ

. Für einen gegebenen Punkt

x_{0} \in acc (X)

betrachten wir ein offenes Intervall

] a, b [

, so dass

x_{0} \in] a, b [\cap acc (X)

Definition 2.10.12. Für eine Funktion $f : X \subset ℝ \to M_{2}$ ist der rechtsseitige bzw. linksseitige Grenzwert für $x \to x_{0} \in acc (X)$ wie folgt definiert $\begin{array}{rcl} lim_{x \to x_{0} + 0} f (x) & \overset{def}{=} & lim_{x \to x_{0}} f |_{] x_{0}, b [} (x), falls x_{0} \in acc (X \cap] x_{0}, b [) für b > x_{0}, \\ lim_{x \to x_{0} - 0} f (x) & \overset{def}{=} & lim_{x \to x_{0}} f |_{] a, x_{0} [} (x), falls x_{0} \in acc (X \cap] a, x_{0} [) für a < x_{0} . \end{array}$

Nach den Aussagen in den Aufgaben 2.10.4 und 2.10.6 ist die Existenz und der Wert dieser links- bzw. rechtsseitigen Grenzwerte unabhängig von der spezifischen Wahl von

b > x_{0}

bzw.

a < x_{0}

Folgender Satz verbindet die Existenz eines Grenzwertes mit der Existenz des links- und rechtsseitigen Grenzwertes:

Theorem 2.10.13. Es sei $x_{0} \in acc (X \cap] a, x_{0} [) \cap acc (X \cap] x_{0}, b [)$ für $a < x_{0} < b$ . Dann gilt die Äquivalenz

y_{0} = lim_{x \to x_{0}} f (x) \Leftrightarrow (y_{0} = lim_{x \to x_{0} - 0} f (x)) \land (y_{0} = lim_{x \to x_{0} + 0} f (x)) .

Beweis. Der Schluss $\Rightarrow$ folgt aus der allgemeinen Eigenschaft aus Aufgabe 2.10.6. Wir beweisen nun $\Leftarrow$ . Nach Voraussetzung gibt es dann für beliebiges $ε > 0$ Zahlen $δ_{\pm} > 0$ , so dass $f (x) = U_{ε} (y_{0})$ für alle $x \in X \cap] x_{0}, x_{0} + δ_{+} [$ sowie für alle $x \in X \cap] x_{0} - δ_{-}, x_{0} [$ . Setzt man nun $δ = min {δ_{-}, δ_{+}} > 0$ , so gilt $f (x) = U_{ε} (y_{0})$ für alle $x \in X \cap U_{δ} (y_{0})$ und damit $y_{0} = lim_{x \to x_{0}} f (x)$ . □

Example 2.10.14. Wir betrachten die Funktion $f : ℝ \to ℝ$ gegeben durch $f (x) = | x |$ . Für $x_{0} = 0$ gilt dann offensichtlich

lim_{x \to 0 + 0} f (x) = lim_{x \to 0 - 0} f (x) = lim_{x \to 0} f (x) = 0 .

Example 2.10.15. Wir betrachten die Funktion $f : ℝ \to ℝ$ gegeben durch

f (x) = sgn (x) = \{\begin{matrix} - 1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{matrix} .

Dann gilt $lim_{x \to 0 - 0} f (x) = - 1$ sowie $lim_{x \to 0 + 0} f (x) = 1$ . Da der links- und der rechtsseitige Grenzwert verschieden sind, so existiert der Grenzwert $lim_{x \to 0} f (x)$ für diese Funktion nicht.

Example 2.10.16. Wir betrachten die Funktion $f : (ℝ \ {0}) \to ℝ$ gegeben durch $f (x) = sin \frac{1}{x}$ . Für die Folge $x_{k} = \frac{1}{2 k π} > 0$ mit $k \in ℕ$ gilt $x_{k} \to 0$ und $sin \frac{1}{x_{k}} = 0 \to 0$ . Wählt man hingegen $x_{k}^{'} = \frac{1}{2 k π + \frac{π}{2}} > 0$ mit $k \in ℕ$ , so gilt $x_{k}^{'} \to 0$ und $sin \frac{1}{x_{k}^{'}} = 1 \to 1$ . Wendet man die Folgendefinition auf den rechtsseitigen Grenzwert $lim_{x \to 0 + 0} f (x)$ an, so erkennt man, dass dieser nicht existiert. Ebenso beweist man, dass $lim_{x \to 0 - 0} f (x)$ nicht existiert. Damit gibt es natürlich auch keinen Grenzwert $lim_{x \to 0} f (x)$ .

Problem 2.10.17. Untersuchen Sie die Funktion $f : (ℝ \ {0}) \to ℝ$ gegeben durch $f (x) = x sin \frac{1}{x}$ auf die Existenz der Grenzwerte für $x \to 0 \pm 0$ sowie für $x \to 0$ .

Wir führen an dieser Stelle noch folgende nützliche Notationen ein, bei der es sich aber nicht um den Grenzwert einer Funktion für

x \to x_{0}

im eigentichen Sinne handelt:

Definition 2.10.18. Wir betrachten eine Funktion $f : ℝ \to M_{2}$ , wobei $(M_{2}, d_{2})$ ein metrischer Raum ist. Dann sei $\begin{array}{rcl} y_{0} = lim_{x \to + \infty} f (x) & \Leftrightarrow & \forall_{ε > 0} \exists_{C \in ℝ} \forall_{+ x \geq C} f (x) \in U_{ε} (y_{0}), \\ y_{0} = lim_{x \to - \infty} f (x) & \Leftrightarrow & \forall_{ε > 0} \exists_{C \in ℝ} \forall_{- x \geq C} f (x) \in U_{ε} (y_{0}), \\ y_{0} = lim_{x \to \infty} f (x) & \Leftrightarrow & \forall_{ε > 0} \exists_{C \in ℝ} \forall_{x : | x | \geq c} f (x) \in U_{ε} (y_{0}) . \end{array}$

2.10.3 Rechtsseitige und Linksseitige Grenzwerte.