Theorem 2.8.1. Es sei ${\left\{x_k\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ eine Folge von Elementen $x_k\in K^n$ welche gegen $y\in K^n$ konvergiert. Dann gelte folgende Aussagen:

1. Der Grenzwert $y=\underset{k\to \infty }{lim}{x}_k$ ist eindeutig bestimmt.

2. Es gilt $\underset{k\to \infty }{lim}{x}_{k+n_0}=y$ für beliebiges $n_0\in \mathbb{N}$.

3. Die Folge ${\left\{x_k\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ ist beschränkt.

Problem 2.8.2. Die Argumentation zum Beweis von Satz 2.8.1 folgt zum Teil aus 2.2.4 oder läuft analog zu den Nachweisen der entsprechenden Aussagen zur Konvergenz in $\mathbb{Q}$ und $ℝ$. Erarbeiten Sie sich den Beweis selbständig!

Theorem 2.8.3. Es seien ${\left\{x_k^{\prime }\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ und ${\left\{x_k^{″}\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ in $\left(K^n,d_{\parallel \cdot \parallel }\right)$ konvergente Folgen von Elementen $x_k^{\prime },x_k^{″}\in K^n$ wobei $y^{\prime }=\underset{k\to \infty }{lim}{x}_k^{\prime }$ und $y^{″}=\underset{k\to \infty }{lim}{x}_k^{″}$. Desweiteren sei ${\left\{{\alpha }_k\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ eine in $\left(K,d_{|\cdot |}\right)$ konvergente Folge von Gliedern ${\alpha }_k\in K$ mit dem Grenzwert $\beta =\underset{k\to \infty }{lim}{\alpha }_k$. Dann existieren die folgenden Grenzwerte in $\left(K^n,d_{\parallel \cdot \parallel }\right)$ $$\begin{array}{rcll}\underset{k\to \infty }{lim}\left(x_k^{\prime }+x_k^{″}\right)& =& y^{\prime }+y^{″},& \text{(2.33)}\\ \underset{k\to \infty }{lim}{\alpha }_k{x}_k^{\prime }& =& \beta y^{\prime },& \text{(2.34)}\end{array}$$

sowie folgender Grenzwert in $\left(K,d_{|\cdot |}\right)$

$$\underset{k\to \infty }{lim}⟨x_k^{\prime },x_k^{″}⟩=⟨y^{\prime },y^{″}⟩.$$

(2.35)

Problem 2.8.4. Beweisen Sie, dass eine Folge ${\left\{x_k\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ komplexer Folgenglieder $x_k\in ℂ$ genau dann konvergiert, wenn sowohl die Folge der Realteile ${\left\{\text{Re}{x}_k\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ als auch die Folge der Imaginrteile ${\left\{\text{Im}{x}_k\right\}}_{k\in \mathbb{N}}$ konvergiert. Dabei gilt