Die Haufungspunkte, das Innere, das Aussere und der Rand einer Menge.

Definition 2.9.1. Der Punkt $x_{0} \in M$ heißt Häufungspunkt der Menge $X$ genau dann wenn folgende Aussage wahr ist:

\forall_{ε > 0} \exists_{x \in M} x \in U_{ε} (x_{0}) \cap (X \ {x_{0}}) .

Die Menge der Häufungspunkte von $X$ bezeichnen wir mit $acc (X)$ .

Example 2.9.2. Es sei $(M, d) = (ℝ, d_{| \cdot |})$ und $X = {{(- 1)}^{n} + n^{- 1}, n \in ℕ}$ . Dann gilt $acc (X) = {- 1, + 1}$ .

Example 2.9.3. Es sei $(M, d) = (ℝ, d_{| \cdot |})$ und $X = ℚ$ . Dann gilt $acc (X) = ℝ$ .

Lemma 2.9.4. Für zwei Teilmengen $X_{1}$ und $X_{2}$ von $M$ folgt aus $X_{1} \subset X_{2}$ stets $acc (X_{1}) \subset acc (X_{2})$ .

Beweis. Falls $x_{0} \in acc (X_{1})$ so gibt es zu jedem $ε > 0$ ein $x_{ε} \in X_{1}$ , $x_{ε} \neq x_{0}$ mit $x_{ε} \in U_{ε} (x_{0})$ . Da gleichzeitig $x_{ε} \in X_{2}$ gilt, so ist ebenfalls die Bedingung für $x_{0} \in acc (X_{2})$ erfüllt. □

Problem 2.9.5. Jede $ε$ -Umgebung eines Häufungspunktes $x_{0}$ von $X$ enthält unendlich viele Elemente aus $X .$

Definition 2.9.6. Ein Punkt $x_{0} \in X$ heißt isolierter Punkt der Menge $X$ genau dann wenn $x_{0} \in X \ acc (X)$ . Die Menge der isolierten Punkte bezeichnen wir mit $iso (X)$ .

Definition 2.9.7. Ein Punkt $x_{0} \in X$ heißt innerer Punkt der Menge $X$ genau dann wenn es ein $ε > 0$ gibt, so dass $U_{ε} (x_{0}) \subset X$ . Das Innere $int (X)$ einer Menge $X$ ist die Menge der innerer Punkte von $X$ .

Mit anderen Worten zeichnet sich ein innerer Punkt von

X

dadurch aus, dass mit ihm stets auch eine

ε -

Umgebung zu

X

gehört.

Example 2.9.8. Es sei $(M, d) = (ℝ, d_{| \cdot |})$ und $X =] - 1, 1 [$ . Dann ist jeder Punkt $x_{0} \in] - 1, 1 [$ ein innerer Punkt. Tatschlich, aus $- 1 < x_{0} < 1$ folgt die Existenz zweier reeller Zahlen $a$ und $b$ mit der Eigenschaft $- 1 < a < x_{0} < b < 1$ . Setzen wir nun $ε_{0} = min {x_{0} - a, b - x_{0}} > 0$ , so gilt offensichtlich $U_{ε_{0}} (x_{0}) \subset] - 1, 1 [$ .

Problem 2.9.9. Es sei $(M, d) = (ℝ, d_{| \cdot |})$ und $X = ℚ$ . Zeigen Sie, dass diese Menge keinen inneren Punkt enthält.

Definition 2.9.10. Ein Punkt $x_{0} \in X_{M}^{c} = M \ X$ heisst äusserer Punkt von $X$ genau dann wenn $x_{0}$ ein innerer Punkt von $X_{M}^{c}$ ist. Das Äussere $ext (X)$ einer Menge $X$ ist die Menge der äusseren Punkte von $X$ .

Example 2.9.11. Es sei $(M, d) = (ℝ, d_{| \cdot |})$ und $X = [- 1, 1 [$ . Dann ist $ext (X) = {x_{0} \in ℝ | (x_{0} < - 1) \lor (x_{0} > 1)}$ dass ussere von $X$ .

Definition 2.9.12. Ein Punkt $x_{0} \in M$ heißt Randpunkt von $X$ genau dann wenn $x_{0}$ weder ein innerer noch ein Äusserer Punkt von $X$ ist, d.h. genau dann wenn die Aussage

\forall_{ε > 0} (X \cap U_{ε} (x_{0}) \neq \emptyset) \land (X_{M}^{c} \cap U_{ε} (x_{0}) \neq \emptyset)

(2.40)

wahr ist. Der Rand $\partial X$ einer Menge $X$ ist die Menge der Randpunkte von $X$ .

Aus der Symmetrie des Ausdruckes (2.40) sowie aus der offensichtlichen Identität

{(X_{M}^{c})}_{M}^{c} = X

folgt sofort

Example 2.9.13. Es sei $(M, d) = (ℝ, d_{| \cdot |})$ und $X = [- 1, 1 [$ . Dann sind $- 1$ und $1$ die Randpunkte von $X$ .

Problem 2.9.14. Es sei $(M, d) = (ℝ, d_{| \cdot |})$ und $X = ℚ$ . Zeigen Sie, dass dann jeder Punkt $x \in ℝ$ ein Randpunkt von $X = ℚ$ ist.

¹³Die in diesem Kapitel eingeführten Begriffe sind auch für die speziellen Räume $ℝ$ , $ℂ$ , $ℝ^{n}$ und $ℂ^{n}$ wichtig und interessant. Da sich aber dann deren Definition nicht wesentlich von denen im Fall eines allgemeinen metrischen Raumes unterscheiden, so wird hier gleich letzterer Fall behandelt. Wir empfehlen dem Leser, beim ersten Studium des Materials sich alle Begriffe zunächst am Beispiel von $ℝ$ , $ℂ$ und dann von $ℝ^{n}$ und $ℂ^{n}$ zu veranschaulichen und beim wiederholten Lesen dann das Augenmerk auf das Zusammenspiel von metrischer und topologischer Struktur zu richten.

2.9.1 Die Häufungspunkte, das Innere, das Äussere und der Rand einer Menge.