Offene und abgeschlossene Mengen.

Definition 2.9.18. Die Menge $X \subset M$ heißt offen genau dann wenn alle Punkte von $X$ auch innere Punkte von $X$ sind, d.h.

X = int (X) .

(2.47)

Aus (2.47) und der ersten Identität in (2.44) sieht man sofort, dass die Menge

X \subset M

genau dann offen ist wenn sie keinen ihrer Randpunkte enthält, also

X \cap \partial X = \emptyset

gilt.

Definition 2.9.19. Die Menge $X \subset M$ heisst abgeschlossen genau dann wenn alle Randpunkte von $X$ auch Elemente von $X$ sind, d.h.

\partial X \subset X .

(2.48)

Die Menge

X

ist damit abgeschlossen genau dann wenn

X = X \cup \partial X

und nach (2.46) ist dies äquivalent zu

Theorem 2.9.20. Eine Menge $X$ ist offen genau dann wenn ihr Komplement $X_{M}^{c}$ abgeschlossen ist. Eine Menge $X$ ist abgeschlossen genau dann wenn ihr Komplement $X_{M}^{c}$ offen ist.

Beweis. Die Menge $X$ ist genau dann offen wenn $X \cap \partial X = \emptyset$ , was wiederum äquivalent zu $\partial X \subset X_{M}^{c}$ ist. Wegen (2.41) gilt dies genau dann wenn $\partial (X_{M}^{c}) \subset X_{M}^{c}$ , d.h. nach (2.48) genau dann wenn $X_{M}^{c}$ abgeschlossen ist. Nach dem gleichen Argument ist $X_{M}^{c}$ genau dann offen wenn ${(X_{M}^{c})}_{M}^{c} = X$ abgeschlossen ist. □

Example 2.9.21. Die Mengen $M$ und $\emptyset$ sind sowohl offen als auch abgeschlossen.

Example 2.9.22. Es sei $(M, d) = (ℝ, d_{| \cdot |})$ und $a, b \in ℝ$ mit $a < b$ . Dann ist $X = (a, b) =] a, b [$ offen, da $\partial X = {a, b}$ und folglich $X \cap \partial X = \emptyset$ . Dem entgegen ist $[a, b]$ abgeschlossen, da $\partial X = {a, b} \subset [a, b]$ . Die Intervalle $] a, b]$ und $[a, b [$ sind weder offen noch abgeschlossen.

Problem 2.9.23. Es sei $K = ℝ$ oder $K = ℂ$ sowie $(M, d) = (K^{n}, d_{∥ \cdot ∥})$ . Zeigen Sie, dass die $ε$ -Umgebung $U_{ε} (x) = {y \in K^{n} | ∥ x - y ∥ < ε}$ für beliebiges $ε > 0$ und $x \in K^{n}$ offen ist und dass andererseits die Menge $B_{ε} (x) = {y \in K^{n} | ∥ x - y ∥ \leq ε}$ für beliebiges $ε > 0$ abgeschlossen ist.

¹⁴Die hier eingeführten Begriffe von offenen und abgeschlossenen Mengen hängen wesentlich von der Wahl des zugrundeliegenden metrischen Raumes $(M, d)$ ab!

2.9.3 Offene und abgeschlossene Mengen.