Der Beweis von Satz 2.4.3.

2.4.3 Der Beweis von Satz 2.4.3.

Es sei $n \geq 1$ und wir betrachten ein $m \in ℕ$ mit $m > n$ . Dann gilt $\begin{array}{rcl} x_{m} - x_{n} & = & \frac{1}{(n + 1)!} + \dots + \frac{1}{m!} \\ = & \sum_{k = n + 1}^{m} \frac{1}{k!} \\ = & \sum_{q = 0}^{m - n - 1} \frac{1}{(q + (n + 1))!}, \end{array}$

wobei wir hier die Summationsvariable $k$ durch $q = k - n - 1$ ersetzt haben. Nun ist

(q + n + 1)! = \underset{P (q, n)}{\underset{︸}{(q + n + 1) \cdot (q - 1 + n + 1) \dots (1 + n + 1)}} \cdot (n + 1)!

Das Produkt $P (q, n)$ besteht aus $q$ Faktoren, wobei jeder davon grösser oder höchstens gleich $n + 2$ ist. Daraus folgt $P (q, n) \geq {(n + 2)}^{q}$ und

(q + (n + 1))! \geq {(n + 2)}^{q} \cdot (n + 1)!

Wir können deshalb die Differenz $x_{m} - x_{n}$ abschätzen durch $\begin{array}{rcl} x_{m} - x_{n} & \leq & \sum_{q = 0}^{m - n - 1} \frac{1}{(n + 1)! {(n + 2)}^{q}} = \frac{1}{(n + 1)!} \sum_{q = 0}^{m - n - 1} {(n + 2)}^{- q} \\ \leq & \frac{1}{(n + 1)!} \frac{1 - {(n + 2)}^{n - m}}{1 - {(n + 2)}^{- 1}} < \frac{1}{(n + 1)!} \frac{n + 2}{n + 1} \\ = & \frac{1}{n \cdot n!} \frac{n (n + 2)}{{(n + 1)}^{2}} . \end{array}$

Dies gibt zusammen mit der Monotonie der Folge ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ die Ungleichung

0 < x_{m} - x_{n} < \frac{1}{n \cdot n!} \frac{n (n + 2)}{{(n + 1)}^{2}} .

Gehen wir hier zum Grenzwert $m \to \infty$ über, so erhalten wir nach Satz 2.1.11

0 < e - x_{n} \leq \frac{1}{n \cdot n!} \frac{n (n + 2)}{{(n + 1)}^{2}} < \frac{1}{n \cdot n!} .

(2.21)

Die strikte Ungleichung auf der linken Seite folgt dabei aus der Betrachtung von $x_{n} < x_{n + 1} \leq x_{m}$ was für $m \to \infty$ klar auf $x_{n} < x_{n + 1} \leq e$ führt. Die Ungleichung (2.21) ist äquivalent zur Behauptung von Satz 2.4.3.

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