Der Beweis von Satz 2.4.4.

2.4.4 Der Beweis von Satz 2.4.4.

Angenommen es sei $e \in ℚ$ , d.h. es gibt teilerfremde natürliche Zahlen $p, q$ mit $e = p ∕ q$ . Nach Satz 2.4.3 mit $n = 2$ gilt

x_{2} = 1 + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} = \frac{5}{2} < e < x_{2} + \frac{1}{2 \cdot 2!} = \frac{11}{4}

und damit $2 < e < 3$ . Damit ist $e = p ∕ q$ keine natürliche Zahl, woraus $q \geq 2$ folgt. Wiederum nach Satz 2.4.3 für $q = n$ gilt

x_{q} = \sum_{k = 0}^{q} \frac{1}{k!} < e = \frac{p}{q} < x_{q} + \frac{1}{q \cdot q!} = \sum_{k = 0}^{q} \frac{1}{k!} + \frac{1}{q \cdot q!}

oder äquivalent

0 < \frac{p}{q} - \sum_{k = 0}^{q} \frac{1}{k!} < \frac{1}{q \cdot q!} .

Multiplizieren wir diese Ungleichung mit $q!$ so ergibt sich

0 < s = p (q - 1)! - \sum_{k = 0}^{q} \frac{q!}{k!} < \frac{1}{q} .

Da sowohl $p (q - 1)! \in ℕ$ als auch $\frac{q!}{k!} \in ℕ$ für $q, k \in ℕ$ mit $q \geq k$ , so ist $s$ eine ganze Zahl zwischen $0$ und $q^{- 1} < 1$ , was zum Widerspruch zu $e = \frac{p}{q}$ und damit zum Widerspruch zu $e \in ℚ$ führt.

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