Der Ubergang zum Grenzwert in Ungleichungen.

2.1.5 Der Übergang zum Grenzwert in Ungleichungen.

Theorem 2.1.11. Es seien ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ und ${y_{n}}_{n \in ℕ}$ reelle Folgen und es gelte $x_{n} \overset{n \to \infty}{\to} a$ und $y_{n} \overset{n \to \infty}{\to} b$ mit $a, b \in ℝ$ . Dann folgt aus $x_{n} \leq y_{n}$ für alle $n \geq n_{0}$ die Ungleichung $a \leq b$ .

Beweis. Gegenannahme: Es sei $a > b$ . Wir setzen $ε = 3^{- 1} (a - b) > 0$ . Wegen der Konvergenz der Folgen gilt $x_{n} \in U_{ε} (a)$ und $y_{n} \in U_{ε} (b)$ für genügend grosse $n \geq N (ε) = max {N_{ε}^{(a)}, N_{ε}^{(b)}}$ . Daraus folgt

y_{n} < b + ε < a - ε < x_{n}

und damit $y_{n} < x_{n}$ für alle $n \geq N (ε)$ , was im Widerspruch zu den Annahmen des Satzes steht. □

Es sei betont, dass aus der strikten Ungleichung $x_{n} < y_{n}$ für alle $n \geq n_{0}$ nicht notwendigerweise die strikte Ungleichung $a < b$ folgt, wie sich leicht am Beispiel $x_{n} = - n^{- 1} \to 0 = a$ und $y_{n} = n^{- 1} \to 0 = b$ sehen lässt.

Das folgende Konvergenzkriterium ist auch als das “Prinzip der zwei Polizisten” bekannt: Lässt sich eine Folge zwischen zwei konvergente Folgen einschachteln, so führen diese “Polizisten”-Folgen die mittlere Folge unweigerlich zum gemeinsamen Grenzwert.

Theorem 2.1.12. Es seien ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ , ${y_{n}}_{n \in ℕ}$ und ${z_{n}}_{n \in ℕ}$ reelle Folgen und es gelte $x_{n} \overset{n \to \infty}{\to} a$ sowie $z_{n} \overset{n \to \infty}{\to} a$ mit $a \in ℝ$ . Gilt dann $x_{n} \leq y_{n} \leq z_{n}$ für alle $n \geq n_{0}$ für ein gewisses $n_{0} \in ℕ$ , so folgt die Konvergenz $y_{n} \overset{n \to \infty}{\to} a$ .

Beweis. Es sei $ε > 0$ . Aus der Konvergenz von ${x_{n}}_{n \in ℕ}$ und ${z_{n}}_{n \in ℕ}$ folgt

a - ε < x_{n} \leq y_{n} \leq z_{n} < a + ε

für genügend grosse $n \geq N (ε)$ . Damit konvergiert ${y_{n}}_{n \in ℕ}$ gegen $a$ . □

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